我們上個單元

三次函數的圖形的廣域特徵

有提到我們利用Google地圖查詢

從武嶺通往合歡山松雪樓的台14甲公路

某個路段附近的情景

以一個單位5公尺的比例將地圖拉近看

發現台14甲的公路附近

近似於一條筆直的道路

同樣地我們拉近看函數圖形

以y等於x三次方減3x平方減2x加8 為例

留意x等於2.5到x等於3.5之間的函數圖形

它近似什麼樣的圖形呢

由前面的問題得知

f等於x三次方減3x平方減2x加8

在x等於3附近的函數圖形

在圓圈內的曲線近似於一條斜直線

那麼怎樣求得y等於f函數圖形

在x等於3的近似直線呢

我們姑且將這條直線假設為一次函數

y等於g

利用函數圖形觀察f減g的絕對值的值

仔細觀察橘色線段長

發現當x愈接近3

則f減g的絕對值的值越小

換句話說

我們要找到一次函數y等於g

使得當x愈接近3時

f函數值近似於g函數值

在前面單元

我們有提到多項式f在x等於a的近似值

可以以低次項來估計

所以我們利用連續綜合除法的方法

來求近似直線

以f等於x三次方減3x平方減2x加8 來說

我們要將f等於x三次方減3x平方減2x加8

表示成 y等於a乘以括號x減3的三次方

加b乘以括號x減3的平方

加c乘以括號x減3加d

推導過程如下

我們採分離係數並取h等於3

我們將f除以x減3得到商式x平方減2餘式是2

再將商式x平方減2除以x減3

得到新的商式x加3餘式是7

最後將x加3寫成

括號x減3加6

這樣我們就可以得到

f等於x三次方減3x平方減2x加8

等於 括號x減3的三次方

加6乘以括號x減3的平方

加7乘以括號x減3加2

我們取g等於7乘以括號x減3加2

而此時f等於括號x減3的三次方

加6乘以括號x減3的平方

加7乘以括號x減3加2

由以下不等式得知

當x愈接近3

則f減g的絕對值值越小

所以f等於括號x減3的三次方

加6乘以括號x減3的平方

加7乘以括號x減3加2

函數圖形在x等於3的近似直線為

y等於7乘以括號x減3加2

也就是 f等於x三次方減3x平方減2x加8

函數圖形在點的近似直線

為y等於7x減19

三次函數在對稱中心也有近似直線

舉例來說y等於f等於2x三次方加12x平方加9x減5

如下圖

我們現在求在對稱中心的近似直線

前面的單元我們知道

f等於2x三次方加12x平方加9x減5

之對稱中心為

這是由於我們知道對稱中心的x座標

h等於-3乘以2分之12等於-2

由以下連續綜合除法得知

我們可以將

f等於2x三次方加12x平方加9x減5

表示成2乘以括號x加2的三次方

減15乘以括號x加2加9的形式

所以 y等於f等於2乘以括號x加2的三次方

減15乘以括號x加2加9的形式

在對稱中心的近似直線為

y等於-15乘以括號x加2加9

也就是y等於-15x減21

同時我們也可以知道

假如三次函數

y等於ax三次方加bx平方加cx加d

之對稱中心

我們可以利用連續綜合除法將表示成

y等於a乘以括號x減h的三次方

加p乘以括號x減h加k形式

有關三次函數的局部特徵我們就到此告一段落

關於函數在某一點的近似直線

在數學甲課程我們會以微積分的觀點切入

屆時會有進一步的說明