我們在前幾個單元學過常數函數

一次函數 二次函數 三次函數的圖形

大家還記得嗎

如果這些圖形都是三次以下的多項式函數

那麼它們分別是幾次函數的圖形呢

沒錯 它們分別是常數函數

一次函數 二次函數 三次函數的圖形

這部影片會帶大家回顧之前所學的內容

並且欣賞四次函數的圖形

那我們就開始吧

常數函數 f等於c 的圖形是一條水平線

因為無論x是什麼值

代入後得到的函數值都是c

也因此 此圖形會與y軸交於點

當c大於0時

水平線在x軸上方

當c小於0時

水平線在x軸下方

當c等於0時

水平線剛好就是x軸

一次函數 f等於ax加b 的圖形是一條直線

因為是一次函數

所以規定a不等於0

函數中有兩個常數a b

其中a表示斜率

若a大於0 斜率為正

則圖形為左下右上的直線

若a小於0 斜率為負

則圖形為左上右下的直線

而b表示 y 截距

也就是此圖形與y軸交於點

另外此圖形的x截距為-a分之b

表示此圖形與x軸交於點

二次函數f等於ax平方加bx加c的圖形

是一條拋物線

因為是二次函數

所以規定a不等於0

函數中的常數a 可以控制拋物線的

開口大小和方向

若a大於0 則拋物線開口朝上

若a小於0 則拋物線開口朝下

而a的絕對值越大則開口越小

反之a的絕對值越小則開口越大

二次函數經過配方後

f等於ax平方加bx加c

等於 a括號x加2a分之b的平方

減4a分之b平方減4ac

可求出頂點坐標為

對稱軸為 x等於-2a分之b

其中b平方減 4ac為判別式

我們用D 來表示

利用判別式的正負性

我們可以判斷拋物線與x軸的交點個數

若D大於0 則拋物線與x軸有兩個交點

若D等於0 則拋物線與x軸有一個交點

若D小於0 則拋物線與x軸沒有交點

三次函數f等於ax三次方加bx平方加cx加d

可經過配方化成標準式

f等於a括號x減h的三次方 加p括號x減h加k

因為是三次函數

所以規定a不等於0

其圖形有六種

皆以為對稱中心

而且可依據a p的正負性分類

若a大於0 則圖形最右方會朝右上遞增

若a小於0 則圖形最右方會朝右下遞減

若p大於0 則圖形在對稱中心附近是遞增的

若p小於0 則圖形在對稱中心 附近是遞減的

若p等於0 則圖形在對稱中心附近是趨於平緩的

複習完三次以下的多項式函數圖形

大家有沒有很好奇

四次以上的多項式函數圖形會長什麼樣子呢

四次函數一般可表示為

f等於ax四次方 加bx三次方 加cx平方 加dx加e

我們可以用描點的方式將圖形大致畫出來

先找一些函數上的點

只要我們找的點越多

把這些點連起來之後

就越能看出圖形的樣貌

不過當我們描完這些點之後

可能一天就過去了

在高三的時候我們學會更好的方法

微積分

我們可以使用微積分去分析函數

進而看出函數大致的樣貌喔

那目前不會微積分的我們

難道就沒有更好的方法了嗎

還是有的 我們可以使用繪圖軟體呀

利用GeoGebra Desmos 等繪圖軟體

我們可以瞬間得到四次函數的局部圖形

你看這些圖形很美妙吧

今天我們複習了三次以下多項式函數圖形的樣貌

也利用繪圖軟體得到四次函數的局部圖形

那五次以上的多項式函數圖形長什麼樣子呢

圖形又有什麼規律呢

大家試著用繪圖軟體畫畫看吧