我們在前面的單元學過了

二次 三次函數圖形的大域特徵

同學們有印象嗎

來複習一下吧

大域特徵又稱廣域特徵

指的是當自變數x的絕對值

很大時所觀察到的特徵

二次函數 f等於 ax平方加bx加c

圖形的大域特徵近似於g等於 ax平方

表示當x絕對值很大時

ax平方加bx加c 除以 ax平方 約等於1

三次函數f等於 ax三次方加bx平方加cx加d

圖形的大域特徵近似於g等於 ax三次方

表示當x絕對值很大時

ax三次方加bx平方加cx加d

除以 ax三次方約等於1

從這兩個例子可以發現

二次 三次函數圖形的大域特徵

都近似於最高次項所形成的單項函數

那麼對於任意多項式函數

答案是肯定的

當x不等於0時

當x絕對值很大時

除了1以外的各項都會很接近0

我們可以這樣理解

當x絕對值很大時

多項式的最高次項會主宰整個函數的走勢

在圖形上來說

越往左右兩邊前進時

y等於f和 y等於anxn次方的圖形走勢會越來越像

我們試著用這個結果來觀察四次和五次的函數圖形

四次函數以 y等於x四次方

加x三次方 減x平方 減x加2 為例

先觀察它除以x四次方的比值

可以發現當x越來越大或越來越小時

比值都越來越接近1

而圖形上越往左邊或越往右邊時

y等於x四次方加x三次方減x平方

減x加2的圖形走勢

會越來越像 y等於x四次方

如果四次函數的最高次項係數是負的話

也會看到類似的情況

以 y等於-4x四次方加x三次方加x平方減1 為例

當x越來越大或越來越小時

它除以-x四次方的比值都越來越接近1

而且兩個圖形的走勢會越來越像

五次函數也是

以 y等於x五次方減2x四次方加x平方減1 為例

當x越來越大或越來越小時

它除以x五次方的比值都越來越接近1

且兩個圖形的走勢會越來越像

如果五次函數的最高次項係數是負的話

以 y等於-x五次方減2x四次方減1 為例

也會有類似的結果

最後來整理一下我們觀察到的結果

多項式函數圖形的特徵

關於第4點的特徵

我們在高三微積分的單元會有更完整的介紹

這邊就不繼續深入探討

對於一個多項式 x平方減x減2來說

我們有時候會把它看成二次函數

f等於x平方減x減2

有時候會把它看成二次方程式

x平方減x減2 等於0

這兩者之間有什麼關係呢

如果畫出二次函數

f等於x平方減x減2的圖形

會發現圖形與x軸的交點是

如果去解二次方程式 x平方減x減2 等於0

會得到兩根為

剛好跟交點的x坐標一模一樣

很神奇吧 這不是巧合

而是一般來說都是對的

因為如果要求二次函數

f等於x平方減x減2

圖形與x軸的交點

那就必須要令函數值為0

那就是等於解方程式 x平方減x減2等於0了

綜合以上我們可以得到一個結論

函數圖形與x軸交點的x坐標

就是其對應多項方程式的實根

接著我們要再更進一步探討交點和實根的關係

舉一些函數圖形為例

這是f等於括號x減2 乘以x乘以括號x加1 的圖形

與x軸的交點為

而方程式 括號x減2 乘以x乘以括號x加1等於0

的根為

可以觀察到在沒有重根的情況下

函數圖形通過x軸是直接穿越的

那如果是二重根的話呢

例如f等於負括號x減1的平方

乘以括號x加2 的圖形

與x軸的交點為

方程式f等於負括號x減1的平方

乘以括號x加2的根為

可以觀察到在1有二重根的情況下

函數圖形在x等於1的附近都在x軸下方

即圖形碰到x軸的時會回彈

而在x等於-2附近

因為沒有重根

所以函數圖形直接穿越了

同學也可以舉其他例子來作圖觀察喔

一般來說當方程式 f等於0

在x等於c有偶數重根時

函數圖形在碰到時會回彈

在x等於c有奇數重根時

函數圖形在碰到時會穿越

最後我們把今天學到的重點內容作個整理吧