同學有沒有出國旅遊的經驗呢 出國玩之前除了預定行程和準備行李之外 了解當地的氣候也是非常重要的 以日本的三個城市為例 這張圖表是1980年到2010年的每月平均氣溫 知道了溫度的資訊 不但可以知道要準備什麼種類的衣物行李 也對該城市的風光多了一點想像呢 再以札幌市的例子來看 假設x代表月份 f of x 代表札幌市的平均氣溫 如果想知道哪些月份會出現攝氏0度以下的氣溫 就相當於找 x 使得 f of x 小於0 這就是解不等式的概念 一般來說若是將 大於 小於 大於等於 小於等於 四種不等號與多項式 f of x 結合 就會形成 f of x 大於0 f of x 小於0 f of x 大於等於0 f of x 小於等於0 四種不等式 我們把它們稱為多項式不等式 n次多項式所形成的不等式 常簡稱為n次不等式 以前國中學過的一元一次不等式 就是一次不等式 解一般的多項式不等式 就跟解一次不等式的概念一樣 如果 x等於a會使得不等式成立 那就稱實數 a 為不等式的解 而解不等式的意思就是找出 所有會使不等式成立的實數 x 我們先從一次不等式開始 解一次不等式 2x減1大於等於0 利用代數的方法 逐步將 x 以外的數移到不等號另一邊 最後得到 x大於等於2分之1 除此之外 也可以利用幾何的方法 從一次函數的圖形來看出不等式的解 接著讓同學們練習看看吧 同學無論是用代數方法或是幾何方法 都可以得到解為 x大於3分之2 除了畫出 y等於負3x加2的圖形來解以外 也可以把不等式改寫成 3x減2大於0來解 改寫方法可以是所有東西都移到不等號另一邊 或是兩邊同乘負1然後不等式變號 解出來的解是一樣的 接下來我們要更進一步看看如何解二次不等式 解二次不等式 x平方減3x加2小於0 面對二次不等式 最方便的方法就是幾何方法了 如果同學想要用代數的方法來解 那就要稍微費點心力了 有兩個常用的方法 上面的方法同學比較喜歡哪一種呢 利用你喜歡的方法來練習看看吧 除了看 y等於負x平方減x加2的圖形外 也可以將不等式改寫成 x平方加x減2大於等於0 利用 y等於x平方加x減2的圖形來判斷 負x平方減x加2小於等於0 和 x平方加x減2大於等於0 有相同的解 從以上的過程中發現 解二次不等式的關鍵在於 找出函數圖形與x軸的交點 而交點的x坐標即為方程式的實根 所以解二次不等式 只要先找二次方程式的實根 接著再利用大致的函數圖形判斷正負號 就可以解出不等式了 不過不是所有二次方程式都有兩個相異實根 萬一遇到重根或是沒有實根的情況 那要如何解二次不等式呢 重根的狀況以多項式 x平方減2x加1為例 方程式 x平方減2x加1等於0的根為 是二重根 所以 y等於x平方減2x加1的圖形 與 x軸的交點只有一個 而此圖形為開口朝上的拋物線 所以我們就可以藉此判斷不等式的解 除此之外利用代數方法也是可行的 把 x平方減2x加1 寫成 括號x減1的平方 當 x等於1時 括號x減1的平方等於0 而 x不等於1時 括號x減1的平方大於0 利用這個就可以判斷不等式解的範圍 而無實根的狀況以多項式 x平方減x加1為例 方程式 x平方減x加1等於0的判別式 D等於括號負1的平方減4乘1乘1等於負3小於0 所以無實根 表示 y等於x平方減x加1的圖形與 x軸沒有交點 而此圖形為開口朝上的拋物線 所以函數值全部都是正的 其不等式解的範圍如下表 以上就是解二次不等式的技巧 同學都掌握了嗎 那我們來練習看看吧 同學一定要多熟悉 因為這對於之後解高次不等式會有很大的幫助喔