在上一支影片中

我們學會了如何用代數方法或幾何方法

解一次和二次不等式

這支影片我們要更進一步

帶同學來解三次以上的不等式喔

不過在開始之前

我們要來複習之前學過的一個重要觀念

當方程式f=0

在x=c有偶數重根時

函數圖形在碰到時會回彈

在x=c有奇數重根時

函數圖形在碰到時會穿越

例如f=-的平方×的圖形

與x軸的交點為

方程式f=0的根為-2 1 1

可以觀察到在1有二重根的情況下

函數圖形在x=1的附近都在x軸下方

即圖形碰到x軸的時會回彈

而在x=-2附近

因為沒有重根

所以函數圖形直接穿越了

如果還是不太熟悉的話

可以先暫停一下

回顧之前的影片

如果沒問題的話

那我們就開始今天的內容吧

三次以上的多項式不等式簡稱高次不等式

如何解高次不等式呢

跟之前一樣

我們有代數方法與幾何方法兩種

一起來看看下面這個例子

解××>0

我們先用代數方法來解

代數方法就是分段討論

這三項的正負號

並藉此判斷××的正負號

列出下面這張的表格

從以上表格可知

在1<x<2

以及x>3時

××>0

所以××>0的解

就是區間或

接著我們用幾何方法來解解看

幾何方法就是藉由

××=0的根1 2 3

大致判斷出

f=××的圖形

在軸附近的正負行為

就像用幾何方法解二次不等式那樣

我們不一定要畫出整個函數的圖形

只需要專注在判斷x軸附近的正負號就好

所以我們就可以判斷出

××>0的解

就是區間或

同學們比較喜歡哪一種方法呢

自己在做題目的時候

只需要選其中一個方法來解就可以了喔

我們再來看下一個例子

解的平方×的三次方<0

可以利用代數方法列出下面這樣的表格

從以上表格可知

在x<1及1<x<3時

的平方×的三次方<0

所以的平方×的三次方<0的解

就是區間或

幾何方法也可以用在這題上

由於的平方×的三次方=0的根

是1有二重根

3有三重根

而多項式的平方×的三次方

的最高次項係數是正的

所以函數圖形最右方是遞增的

我們可以從右上方開始

大致描繪出f等於

的平方×的三次方的圖形

在x軸附近的樣子

因為3有三重根

所以函數圖形穿越了x軸

而1有二重根

所以圖形碰到x軸之後回彈了

所以我們就可以判斷出

的平方×的三次方<0的解

就是區間或

剛剛在解題的過程當中

我們提到因為多項式

的平方×的三次方

的最高次項係數是正的

所以函數圖形最右方是遞增的

這個觀念是之前學過的

多項式函數圖形的大域 廣域特徵

那如果不等式中

多項式的最高次項係數是負的

例如××≥0

那要怎麼辦呢

當然根據多項式函數圖形的大域 廣域特徵

我們可以知道函數圖形最右邊是遞減的

所以一樣可以畫出大致的函數圖形來判斷正負

或是如果將不等號兩邊同乘-1

那就可以將最高次項係數變成正的

××≥0

會化成××≤ 0

不過要記得同乘-1後

不等式要變號喔

最後我們來解解看

××≤ 0

觀察不等式

式子中出現了二次項x平方+x+1

分析之後可以發現

因為它的判別式

1的平方-4×1×1=-3<0

且拋物線的開口朝上

所以無論x值為多少

x平方+x+1恆為正數

不會影響原本式子的正負號

因此解××≤0

就等同於解

×≤0

故解為區間

剛才我們解的不等式

都是已經因式分解好的

如果題目呈現的是一般式

那我們就需要自己因式分解囉

已知x=1是

x三次方-2x平方-x+2=0的一根

試解x三次方-2x平方-x+2>0

根據題目 x-1是

x三次方-2x平方-x+2的因式

我們可以利用長除法算出

x三次方-2x平方-x+2=

×

再利用十字交乘法就可以完成因式分解

=××

所以要解的是

××>0

接下來無論用代數方法或是幾何方法

都可以解出區間或

這裡就讓同學自己算算看囉

最後我們來練習幾道題目

看看自己是不是真的學會了