在日常生活中 我們到處可以發現數列的蹤跡 例如威力彩的開獎數字 在螢幕中呈現出 某一期威力彩第一區所開出的號碼為 17 10 04 11 18 24 又譬如說 我們觀察桌曆看到某個月份星期日的日期 像2022年一月份的星期日的日期為 2 9 16 23 30 像這樣將一連串的數字做有次序的排列 我們就稱為數列 我們陳述一下數列的定義 將一些數字依序排成一列 就成為一個數列 一個數列形如 a a 一直到a 其中每個數字稱為項 a 稱為第一項或稱為首項 a 稱為第二項 以此類推 a 稱為第n項又稱為一般項 n為正整數 此數列以符號〈a 〉表示 如果一個數列的項數是有限多個 就稱這個數列為有限數列 否則稱為無窮數列 有限數列的最後一項也稱為末項 舉例來說 有一數列〈a 〉為2 3 5 7 11 13 17 19 我們可以看到這個數列共有8項 第一項為2 第二項為3 最後一項也就是第8項為19 又譬如說 有一數列n平方 雖然這個數列沒有將數字列出來 但是它有呈現出一般項為n平方 我們不妨令b 等於n平方 此時我們可以知道這個數列的首項為 1的平方等於1 第二項為2的平方等於4 第三項為3的平方等於9 第四項為4的平方等於16 第五項為5的平方等於25 依此類推 數列n平方當中有一項為81 由於我們知道數列一般項為n平方 那麼我們可以利用n平方等於81 得到n等於9 就可以知道81為這個數列的第9項喔 在這裡要特別說明 數列就是將一些數字依序排成一列 數列本身項和項之間不一定會有規律 就像威力彩的開獎數字 不過我們接下來會針對一些 有規律的數列進行探討 不知道各位同學是否注意到 我們平常走上樓的階梯 每層間隔高度是一樣的 假如每層的高度是0.3公尺 那麼第一層階梯的高度為0.3公尺 第二層階梯的高度為0.6公尺 第三層階梯的高度為0.9公尺 依此類推 假如總共要上8層階梯 那麼第8層階梯的高度為多少公尺 我們一層一層算 算出來的結果是2.4公尺 我們將樓梯每層高度去掉單位只留數字 列出來形成一個數列為 0.3 0.6 0.9一直到2.4 我們可以觀察到這個數列項和項之間 每相鄰兩項後項減前項的差為一定值 都是0.3 像這樣的數列我們就稱為等差數列 我們正式下一個定義 若一個數列每相鄰兩項 後項減去前項所得的差為定值 我們就稱為等差數列 而此定值就稱為此等差數列的公差 若等差數列〈a 〉的首項為a 公差為d 則此數列為 a a ＋d a ＋2d a ＋3d a ＋4d 依此類推 我們觀察等差數列項和項之間的關係 譬如從第一項開始數到第四項 中間要加上3個公差 同理數到第n項 就要加上n－1個公差 因此推得等差數列的一般項是 a =a ＋d 生活中常見A3 A4 B4等規格的紙張 發明這些紙張規格的人很聰明喔 因為只要制定最一開始的紙張尺寸 剩下的都可以用它裁切得到 並且規格還能一致 最方便的裁法就是對折再切 我們以A系列紙張為例 先是製造出一張大紙A0 對切一半後得到兩張小一號碼的紙張A1 重複同樣的動作 依序可得到A2 A3依此類推等等 已知A0的面積是1平方公尺 那麼A1的面積為2分之1平方公尺 A2的面積為4分之1平方公尺 A3的面積為8分之1平方公尺 以此類推 A版紙的紙張面積去掉單位 留下數字形成了一個數列 我們以〈a 〉來表達這個數列 我們可以觀察到這個數列項和項之間 每相鄰兩項後項除以前項的比值為一定值 都是2分之1 像這樣的數列我們就稱為等比數列 我們正式下一個定義 若一個數列每相鄰兩項 後項除以前項所得的比值為定值 就稱為等比數列 而此定值就稱為此等比數列的公比 若等比數列〈a 〉的首項為a a 不等於0 公比為r r不等於0 則此數列為a a r a r平方 a r三次方 我們觀察等比數列項和項之間的關係 譬如從第一項開始數到第四項 中間要乘上3個公比 同理數到第n項 就要乘上n－1個公比 因此得到等比數列的一般項是 a 等於a 乘以r的n減1次方 各位同學以上就是有關數列 等差數列以及等比數列的介紹 等差數列以及等比數列 是我們一般常見有規律的數列 接下來的單元 我們會利用數列的遞迴關係式 窺探更多有規律的數列喔 請各位拭目以待喔