我們用珠子可以排成許多幾何圖形 例如用10個珠子可以排成正三角形 9個珠子可以排成正方形 我們將排成正多邊形所需珠子的數目 稱為多邊形數 例如1 3 6 10 15 21等 皆為三角形數 1 4 9 16 25等 皆為正方形數 這些多邊形數會形成一個數列 而計算多邊形數的每一項的方法 就是擴充某兩個相連的邊 然後將中間的空白處補上 我們可以觀察相鄰兩項的關係或規律去推下一項 有些數列例如三角形數 常常都會隱藏著一些規律 對於有規律的數列 除了用一般項表示外 還可從相鄰項的關係來描述該數列 以三角形數為例 第一項a =1 第二項a =a +2 第三項a =a +3 第四項a =a +4 依此類推 可推知第n項a =a +n 我們可以用這個數學式 因為知道a 就可以知道a 知道a 就可以知道a 依此類推 在這個數學式裡頭 a =1是一開始給定的項 我們稱為初始條件 而a =a +n n≥2 我們稱為遞迴關係 像這樣描述數列相鄰項 或相鄰幾項之間關係的式子 我們稱為該數列的遞迴關係式 具有遞迴關係式的數列稱為遞迴數列 給定一個數列的遞迴關係式 我們就可以得到這個數列的每一項 前一單元提到過 若一個數列〈a 〉每相鄰兩項 後項減去前項所得的差為定值d 我們就稱為等差數列 在等差數列中 一開始有首項 a =a 接下來後項皆可由前一項 加上一定值d公差而得 也就是說等差數列的遞迴關係式 可寫成這個式子 我們可以由遞迴關係式 可以導出等差數列的一般項 依此可列出如下列式 將上面所有等式相加並對消 得到a =a+d 由於我們所使用的運算是相加 所以我們把這個方法稱為累加法 一般而言求數列的一般項公式 通常是由觀察規律開始的 我們現在來做以下 有關運用累加法求一般項的例子 由這個遞迴關係式 依此可列出如下等式 利用累加法 將上面所有等式相加並對消 最後我們得到 a 等於2分之n乘以括號n加1 前一單元也提到過 若一個數列〈a 〉每相鄰兩項 後項除以前項所得的比值為定值r r≠0 就稱為等比數列 在等比數列中 一開始有首項a =a a≠0 接下來後項皆可由前一項乘上一定值 r 公比r≠0 而得 也就是說等比數列的遞迴關係式 可寫成這個式子 我們由遞迴關係式可以導出等比數列的一般項 依此可列出如下等式 將上面所有等式相乘並對消 得到 a 等於a乘以r的n減1次方 由於我們所使用的運算是相乘 所以我們把這個方法稱為累乘法 由第1圖得知a =1 由圖可知 每經過一個步驟 每個白色三角形都可以分割出 3個更小的白色三角形 因此〈a 〉是一個公比為3的等比數列 所以 a 等於3乘以a 由這個遞迴關係式得知 數列〈a 〉為首項1公比3的等比數列 所以數列〈a 〉的一般項a 為 3的n減1次方 和我們這個單元息息相關 請大家拭目以待吧