在前個單元 我們用珠子排成多邊形數 並且藉由遞迴關係式找到多邊形數 假如我們將珠子以這樣的規律擺放 第1列擺放1顆珠子 第2列擺放3顆珠子 第3列擺放5顆珠子 以此類推 每一列比前面一列多兩顆珠子 總共排成n列 那麼共需要多少個珠子 我們現在來觀察一下 珠子總數有什麼規律 設a 是前n列珠子的總數 將a 視為一數列 我們先數數看珠子的總數 求出數列a 的每一項 即a =1 a =4 a =9 a =16 聰明的同學您們覺得a 是多少呢 嗯 a 感覺好像是等於n的平方 觀察前幾項的數值 形成以下的猜測 對於所有的正整數n a 等於n的平方 那麼如何驗證這個猜測呢 最直接的方法就是逐一地檢查 a a a 一直到a 是否也滿足猜測a 等於n的平方 但因為正整數n有無窮多個 即使驗證了式子a 等於n的平方 對n等於1 2 3一直到10000 或甚至到10的100次方都正確 也不能保證a 等於n的平方 對所有正整數都正確 基於以上的理由 我們提出一個驗證方法 來證明我們的猜測是正確的 我們先來找出這個數列a 的遞迴關係式 由前面測驗得知 第n列有2n-1顆珠子 所以遞迴關係式為 a =1 a =a + n≥2 當n=1時 a 等於1 等於1的平方 成立 當n=2時 我們代a 的遞迴關係式 可以得到a =a + 等於2的平方亦成立 當n=3時 得到a =a + 等於3的平方亦成立 當n=4時 經過遞迴關係式推論 a 等於4的平方也成立 假如a 等於k的平方正確 那麼經過遞迴關係式可以推得 a =a +-1)=k平方+2k+1 等於的平方也是正確的 依此類推我們可以無窮盡地推論下去 我們經由遞迴關係式 藉由項和項之間的關係 驗證我們的猜想 這樣驗證方法我們稱為數學歸納法 為何透過數學歸納法 就可以證明上述猜測對於 所有的正整數n都是正確的呢 項和項之間的推論過程 感覺上有點像骨牌遊戲原理 當a 等於1 等於1的平方成立的時候 意味著這第一張骨牌倒下 當a 等於2的平方成立的時候 意味這第二張骨牌倒下 可是第二張骨牌之所以倒下 是由於第一張骨牌倒下的緣故 同理第k張骨牌倒下了 第張骨牌一定會隨之而倒 所以假如我們要證明 a =的平方成立的話 就得要先假設a 等於k的平方是正確的 然後藉由遞迴關係式來證明 a =的平方成立 但是這一切得要有起手式 證明a 等於1的平方成立才行 我們整理一下骨牌遊戲原理 和數學關係式之關係 當我們在擺放骨牌的時候 每相鄰兩張的骨牌 要確認前面的骨牌倒下 後面的骨牌一定倒下 當我們擺放完畢後 精彩的時刻來臨 我們推倒第一張骨牌 在我們精心的設計下 全部的骨牌全倒了 所以對應到數學歸納法 就是證明當n=1時猜測正確 設n=k時猜測正確 則可推得n=k+1時猜測亦正確 最後再說明對於所有的正整數n 猜測都正確 數學歸納法原理就是骨牌效應的原理 但骨牌遊戲的過程是有限的 而數學歸納法的過程是無限的 注意的是 數學歸納法中證明的兩個步驟缺一不可 起始步驟 當n=1的時候數學敘述成立 就像第一張骨牌倒了 遞推步驟 假設n=k的時候數學敘述成立 會導致n=k＋1時數學敘述成立 則此數學敘述對於所有正整數n都成立 我們回到一開始的問題 我們將珠子排成這樣形狀 第1列有1顆珠子 第2列有3顆珠子 第3列有5顆珠子 以此類推 每一列比前面一列多兩顆珠子 總共排成n列 請問共有幾顆珠子 根據前面的觀察 設a 是前n列珠子的總數 我們可以得到數列a 的遞迴關係式 a =1 a =a + n≥2 我們猜測a 等於n的平方 接下來我們要證明 a 等於n的平方是正確的 第一步當n=1時 a 等於1 等於1的平方 猜測是正確的 接下來我們假設n=k時 a 等於k的平方成立 則當n=k+1由遞迴關係式我們得到 a =a +-1)=k的平方+2k+1 等於的平方成立 最後再說明由數學歸納法得知 對於所有的正整數n a 等於n的平方都正確 各位同學上完這個單元 不知道你們是否了解數學歸納法原理了 先別急下個單元 我們將繼續對數學歸納法的觀念及證明 作進一步地講解喔 請各位拭目以待喔