各位同學 上個單元我們可以根據一個數列〈a 〉遞迴關係式 及利用數學歸納法原理 來證明數列〈a 〉的一般項 但是數學歸納法能證明的數學敘述 可不只數列喔 它專門用來證明 與正整數有關的敘述 這並不是說數學歸納法 只能用來證明正整數本身方面的性質 而是說凡能用數學歸納法來證明其正確性的敘述 都與正整數有關 這個單元我們將進一步解釋 數學歸納法觀念及證明寫作 在前面的單元 我們有提到數學歸納法原理 和骨牌遊戲原理很像 我們設P表與正整數n有關的數學敘述 P成立則表示第n張骨牌倒下 假如對於所有正整數n P都成立 那麼P要先成立 就相當於第1張骨牌倒下 假如我們確保每相鄰兩張的骨牌 前面的骨牌倒下 後面的骨牌一定倒下 那麼P成立 意味著P成立 P成立 意味著P成立 以此類推 這樣所有正整數n P都成立 因此數學歸納法原理 必須要有兩個步驟 對於某一個與正整數有關的數學敘述 只要滿足下列兩個條件 當n＝1的時候數學敘述成立 假設n＝k的時候數學敘述成立 可推得n＝k＋1時數學敘述成立 則此數學敘述對於所有正整數n都成立 請注意數學歸納法中證明的兩個步驟缺一不可 數學歸納法之所以用歸納兩個字 確實是因為用這個方法來證明的性質 一般都是可以由前面的幾個特例推測而得 但數學的敘述是不容許有例外出現 在前面的測驗當中 雖然我們從n=1代到n=10 得到n平方加n加41確實是質數 但不意味著對所有正整數n n平方加n加41都是質數 所以才需要遞推步驟 接下來我們來看一道題目 順便來教導各位同學如何寫數學歸納法的證明 設數列〈a 〉滿足遞迴關係式 a =1 a =a +n的三次方 n≥2 第一題 試求 a a a 的值 因為a =1 所以a =a +2的三次方 =1+8=9 a =a +3的三次方 =9+27=36 a =a +4的三次方 =36+64=100 第二題 試推測數列〈a 〉的一般項 我們可以觀察數列〈a 〉前幾項 可以發現每項都是完全平方數 但好像中間有缺一些完全平方數 我們發現這些平方數的底 可以寫成連續正整數的和 因為1到n連續正整數的和為 2分之n乘以括號n+1 所以我們猜測 a 等於括號2分之n乘以括號n+1的平方 第三題 利用數學歸納法 驗證第二題所推測的結果 我們將問題重述 數列〈a 〉滿足遞迴關係式 a =1 a =a +n的三次方 n≥2 試證明a 等於括號2分之n乘以括號n+1的平方 第一步我們證明a 等於括號2分之1乘以2的平方 推測成立 緊接下來 我們假設a 等於括號2分之k乘以括號k+1的平方 推測成立 這部分的假設 是為了做為證明 a 等於括號2分之括號k+1乘以括號k+1+1的平方的前提 則當n=k＋1時 要根據遞迴關係式 來連結a 與a 這部分非常重要 最後化簡得到 最後要說明根據數學歸納法原理 我們證明了這個數學敘述 以上就是我們數學歸納法證明寫法 數學歸納法除了可以用於 證明遞迴數列的一般項外 也可以用於證明與正整數有關的敘述 我們來看底下的這道題目 試證明對任意正整數n a 等於4乘以8的n-1次方＋3是7的倍數 第一步 證明當n=1時a 是7的倍數 我們把n=1代入得到a =4乘以8的0次方＋3=7 是7的倍數 命題成立 第二步我們假設n=k時a 是7的倍數 也就是a =4乘以8的k-1次方＋3 是7的倍數 我們可以令4乘以8的k-1次方＋3=7Q 其中Q為整數 第三步 則當 n=k＋1 時 a 等於4乘以8的k+1-1次方＋3 我們可以整理成 a 等於括號4乘以8的k-1次方＋3 加上28乘以8的k-1次方 這是為了呈現a 及a 的關係 最後我們將4乘以8的k-1次方＋3=7Q代入 最後整理得到a 亦是7的倍數 成立 最後一行在寫證明題時 要解釋由數學歸納法原理證明了 對任意正整數n a 等於4乘以8的k-1次方＋3是7的倍數喔 各位同學上完這個單元 有關數學歸納法的觀念及證明寫作 就到此告一段落喔 相信您們對數學歸納法 已經有了更進一步的了解 別忘了要多練習數學歸納法的證明喔 我們下次再見