校慶園遊會又到了

走廊上充滿了各式各樣的攤位

哇 這些橘子擺設得真是有型

決定賣水果的班級把橘子堆成了一個正方形垛

第一層1個

第二層2乘2個

第三層3乘3個

第10層10乘10個

這10層橘子一共有多少個呢

隔壁的班級則決定經營保齡球遊戲

如果有10排的話

就會有1加2加3一直加到10個球瓶

合計有多少個呢

各位聰明的同學

除了一個一個點算之外

還有什麼好方法

可以知道以上三個問題的答案嗎

將數列ak的前n項依序相加

所成的式子a1加a2一直加到an

稱為級數可用Sn表示

即Sn等於a1加a2一直加到an

代表一個數列的前n項之和

如此一來我們可以用符號來表示上述的情境

橘子堆垛問題中

第n層的橘子個數為an等於n的平方

這10層橘子的總和為S10

等於a1加a2一直加到a10

等於1的平方 加2的平方 加3的平方

一直加到10的平方

保齡球瓶問題中

第n排的球瓶個數為an等於n

前10排保齡球瓶的總和為S10

等於a1加a2一直加到a10

等於1加2加3一直加到10

除了上面提到的問題之外

可以思考看看生活中還有哪些級數的例子呢

接著來看看級數和數列之間的關係

假設 S1等於a1

我們能不能用級數Sn來表示數列中的第n項an呢

因為S1等於a1

因此S2等於第一項加第二項

等於a1加a2

再繼續往下寫

S3等於a1加a2加a3

S4等於a1加a2加a3加a4

Sn減1等於a1加a2加a3一直加到 an減1

也就是加到an的前一項

最後Sn等於 a1加a2加a3

一直加 加到an減1加an

仔細觀察這些式子有沒有發現規律呢

先來看S1

S1表示前一項的和就是a1

再來看S1和S2

當我們將S2減掉S1

就可以得到S2減S1等於a2

同樣的S3減S2等於 a3

而S4減S3等於 a4

看出來了嗎

只要將Sn和Sn減1兩個式子相減

就可以得到

an等於Sn減Sn減1

特別注意在以上的推導中

必須當n大於等於2時

前n減1項和才有意義

而當n等於1時 a1等於S1

也就是說從前項和Sn

減去前n減1項和Sn減1

抵消之後即得第n項an

這是從級數換算回數列的一個標準方式

來看一下實際的例子

同學可以先思考一下

接下來我們一起看

第一個問題問a3是多少

根據剛剛學習過的計算方式

只要將級數S3減S2就可以得到

a3等於S3減S2等於6

第二個問題問an是多少

當n大於等於2時

代入公式可得

接著再挑戰一題

大家可以比較這一題和上一個例子的差異

但是如果將1帶入計算出來的結果

兩者的答案並不相等

這是如果將n等於1 帶入Sn減Sn減1

會得到S1減S0

其中S0是不存在的

因此在計算類似的題目時

一定要記得檢查S1是否等於an喔

最後讓我們來複習這個單元學到的概念

同學們都清楚了嗎

正在看影片的你可能開始好奇

要如何求出各種級數的答案呢

我們會在接下來的單元中

和之後的影片中逐一介紹

求級數的具體方法與公式喔