據說數學神童高斯小的時候發生過這樣的故事

某天數學老師出了一個困難的題目

想要考考全班的同學

他問從1一直加到100總和是多少

老師心想這下學生們可有得忙了

沒想到幼年的高斯用了一個別出心裁的方法

很快地交上了答案

讓老師嚇了一跳 5050

你們知道高斯是怎麼求出答案的嗎

令S等於1加2加到100

然後重寫一遍這個式子

但是順序顛倒

S等於100加99加到1

觀察上下兩式相加時會發現

1加100等於2加99

加到最後一項是100加1

所有和都是 101 共有 100 組

所以總和是2S等於101乘以100

等於10100

正好是S等於1加2加到100的兩倍

所以S是10100的一半

即S等於10100除以2等於5050

在這個故事中 1 2 3到100

是公差為1的等差數列

而S等於1加2加到100是等差級數

假設有一等差數列ak的首項為a1

公差為d 項數為n

則有等差級數Sn等於a1加a2加到an

我們可以用類似的方法求出等差級數

Sn等於2分之括號a1加an乘以n

來證明看看

將Sn等於a1加a2加到an

順序倒過來寫

可得Sn等於an加an減1加到a1

上下兩式相加

得到2Sn等於括號a1加an

加括號a2加an減1加到括號an加a1

觀察右式括號內的兩項和會發現

a2加an減1等於括號a1加d

加括號an減d等於a1加an

a3加a n減2等於

括號a1加2d加括號an減2d

等於a1加an

因此右式和等於n乘以括號a1加an

而Sn等於2分之括號a1加an乘以n

又因為an等於a1加括號n減1乘以d

所以Sn等於

2分之n乘以括號2a1加括號n減1乘以d

如此一來我們就證明了等差級數公式

設一等差數列ak的首項為a1

公差為d 項數為n

則有等差級數

Sn等於a1加a2加到an等於

2分之括號a1加an乘以n

這個公式看起來有點複雜

不過我們可以用下面的例子來幫助記憶

假設想算出下面有幾根圓木

用等差級數公式

圓木的總根數等於首項加末項

乘以項數再除以2

等於上層根數加下層根數

乘以層數除以2等於25

仔細看會發現

等差級數公式和梯形面積公式

上底加下底 乘以高 除以2長得很像

首項對應上底

末項對應下底

而項數對應著高喔

關於等差級數

還有另一個常用的公式

設一等差數列ak的首項為a1

公差為d 項數為n

則有等差級數

Sn等於a1加a2加到an等於

2分之2a1加括號n減1乘d乘以n

證明如下

由等差數列的性質可知

an等於a1加括號n減1乘以d

將此式代入等差級公式

Sn等於2分之括號a1加an乘以n之中

即得Sn等於2分之括號a1加a1

加括號n減1乘以d乘以n

等於2分之2a1加括號n減1乘以d乘以n

此公式的特色

在於只需知道首項a1

公差d與項數n

即可求等差級數

而不需要知道末項an

因次1到100之中奇數和為2500

偶數和為2550

相加得5050

確實是故事中高斯所給出的答案

再練習一題

最後來複習今天學到的內容

那麼等比級數的公式又是什麼

要如何求得呢

我們將在接下來的單元做介紹