怎樣快速計算從1到10的連續正整數和

同學想想看喔

可以利用等差級數的公式

首項1加上末項10

乘於項數10再除以2得到55

有趣吧

利用數學這項工具

可以把本來要慢慢計算的加法

一下就算出來了

另解S等於1加2加3加4一直加到9加10

S也等於10加9加8加7一直加到2加1

兩式相加求和

2S等於110

也就是11個10相加

所以S等於55

如果今天改成計算

1平方加2平方加3平方加4平方等於多少

那我們該怎樣處理呢

當然有同學會想慢慢計算

可是如果這個規律

一直持續要加到10的平方怎麼辦

所以我們今天就要來學習一個有趣的公式

把複雜的計算變得簡單

首先我們利用這個

有1個1 2個2 3個3 4個4的三角形

來表示我們要算的級數

同學可以思考一下

為何這個三角形可以表示上面的級數

來看三角形的第一層1

是不是可以表示1的平方

第2層的兩個2相加

就是2的平方

以此類推

我們把這個三角形裡面的數字全部加起來

就是我們要計算的總和

我們把這個三角形逆時針旋轉120度後

得到另一個三角形

再逆時針旋轉120度後

把三個三角形的內部數字加起來

得到最終的大三角形

就是1加4加4等於9

那這個位置呢

2加4加3等於9

是不是也等於9

所以我們依序把大三角形每個相對位置的數字算出來

三個三角形內部的數字加起來

發現大三角形的每個數字都為9

總共有幾個9想一下

是不是有1加2加3加4個9

所以得到

這邊為什麼要除以3呢 還記得嗎

最終的大三角形是由三個三角形

內部的數字加起來得到

如此這樣就解決問題了

下面我們就把數字一般化

但是過程是一樣的

計算1平方加2平方加3平方

一直加到n平方等於多少

用1個1 2個2 3個3到n個n的三角形

來表示我們要算的級數

跟前面一樣

逆時針旋轉120度後得到另一個三角形

再逆時針旋轉120度後

把三個三角形內部的數字加起來

得到最終的大三角形

大三角形每一個數字都是2n加1

根據前面的討論得到1的平方加2的平方

加到n的平方所求的值

等於每一個數都是2n加1的大三角形除以3

總共有1加2加到n個2n加1

利用等差級數的公式

知道有括號1加n乘n除以2個2n加1

得到公式6分之n乘以括號n加1

乘以括號2n加1