在上一部影片我們提到

若是將敘述p和敘述q用且連接起來

就會形成複合敘述p且q

若是用或連接起來

就會形成複合敘述p或q

複合敘述也是敘述的一種

所以既可以判斷真偽

也可以寫下否定敘述

這部影片就要來帶同學探討

什麼是p且q的否定敘述

什麼又是p或q的否定敘述

為了方便討論

我們將p且q用符號p∧q來表示

而p或q用符號p∨q來表示

那我們就開始吧

p∧q的否定敘述記為~

為了瞭解~是什麼意思

我們舉一個例子

假設x是實數

敘述p表示x>3

敘述q表示x<8

那麼p∧q就表示x>3且x<8

也就是3<x<8

而~的意思就是不是3<x<8

也就是數線上除了3<x<8的其他地方

即x≤3或者x≥8

根據以上的討論

我們發現不是3<x<8

和x≤3或x≥8

所表示的範圍是相同的

也就是~和~p∨~q

所表示的意思是相同的

一般來說~和~p∨~q

所對應的意思都是相同的

在這樣的情況下

我們說~和~p∨~q

在邏輯上等價

並用符號~≡~p∨~q來表示

這個想法在19世紀的時候

就被奧古斯塔斯·笛摩根

Augustus De Morgan 發現了

所以我們也把它叫做笛摩根定律

我們再舉一個例子看看

假設敘述p表示四邊形ABCD的四邊等長

可能是正方形或菱形

敘述q表示四邊形ABCD的四個角都是直角

可能是正方形或矩形

那麼p∧q就表示四邊形ABCD的四邊等長

且四個角都是直角

也就代表四邊形ABCD是正方形

而~的意思就是不是正方形

什麼樣的四邊形不是正方形呢

只要四邊不完全等長

或是四個角不完全是直角

那就不會是正方形了

四邊不完全等長就是~p

四個角不完全是直角就是~q

所以我們再次看到了笛摩根定律

~≡~p∨~q

笛摩根定律除了~≡~p∨~q以外

還有另一個部分就是

~≡~p∧~q

它呈現出p∨q的否定敘述

和~p ~q之間的關係

我們一樣舉一個例子來看

假設x是正整數

敘述p表示x是2的倍數

敘述q表示x是3的倍數

那麼p∨q就表示x是2或3的倍數

而~的意思就是x不是2或3的倍數

也就是那些沒有圈起來的數字

這些沒有圈起來的數字有一些共同點

那就是既不是2的倍數而且也不是3的倍數

這表示~和~p∧~q

所表示的意思是相同的

一般來說~和~p∧~q

所對應的意思都是相同的

在這樣的情況下

我們說~和~p∧~q

在邏輯上等價

並用符號~≡~p∧~q來表示

這就是另一個部分的笛摩根定律

我們再看看另一個例子

假設x y是正整數

敘述p表示x是偶數

敘述q表示y是偶數

那麼p∨q就表示x是偶數或y是偶數

也就是說x和y至少有一個是偶數

而~的意思就是

x y至少有一個是偶數的否定

也就是x和y都不是偶數

那就表示x和y都是奇數

也就是x是奇數且y是奇數

從以上例子我們再次看到笛摩根定律

~≡~p∧~q

同學們也來試試看吧

今天我們學會了笛摩根定律

大家有沒有覺得自己的邏輯概念又更好了呢