在前幾部影片我們曾經提到 若p則q以及等價這兩個概念 同學們還記得嗎 今天這部影片會著重在這兩個概念上 我們不但會看到更多的例子 也會更深入的剖析這兩個概念 準備好了嗎 那我們就開始囉 首先來談談若p則q這個概念 之前我們說到 我們常把若敘述p則敘述q 簡稱為若p則q 若此命題是正確的 可以用符號p⇒q來表示 前面的敘述p可以視為前提 而後面的敘述q可以視為結論 例如y=f是三次函數 則y=f的圖形是點對稱圖形 若正整數n的個位數字是2 則n是2的倍數 若x=-3則|x|=3 若四邊形ABCD是正方形 則四邊形ABCD的四個邊長相等 在命題若p則q是正確的情況下 可以用符號p⇒q來表示 此時我們說p是q的充分條件 意思是當p這個條件充分具備時 就可以推得q 或者我們也可以說q是p的必要條件 意思是當p成立時 q這個條件也必然成立 q是p成立時的必要條件 以剛才的例子來看 若y=f是三次函數 則y=f的圖形是點對稱圖形 當y=f是三次函數這個條件充分具備時 就可以推得y=f的圖形是點對稱圖形 所以y=f是三次函數 是y=f的圖形是點對稱圖形的充分條件 而當y=f是三次函數時 y=f的圖形必然是點對稱圖形 所以y=f的圖形是點對稱圖形 是y=f是三次函數的必要條件 其他例子也可以如此解釋 若正整數n的個位數字是2 則n是2的倍數 當正整數n的個位數字 是2這個條件充分具備時 就可以推得n就是2的倍數 所以正整數n的個位數字是2 是n是2的倍數的充分條件 而當正整數n的個位數字是2時 n必然是2的倍數 所以n是2的倍數 是正整數n的個位數字是2的必要條件 另外兩個例子我們當作同學的課中練習喔 剛才舉的四個例子都是若p則q是正確的 可是反過來說 若q則p就不正確 這代表p是q的充分條件 但p不是q的必要條件 如果在一些特別的情況下 p既是q的充分條件 若p則q是正確的 p也是q的必要條件 若q則p是正確的 這時我們會說p是q的充分必要條件 簡稱充要條件 在這個情況下q也是p的充要條件 所以說p與q互為充要條件 可以用符號 p⇔q表示 舉例來說 因式定理 若多項式f有一次因式ax-b 則f=0 反之若f=0 則多項式f有一次因式ax-b 在這個例子中 多項式f有一次因式ax-b 既是f=0的充分條件 也是必要條件 所以我們說多項式f有一次因式ax-b 與f=0互為充要條件 可以用f有一次因式ax-b⇔f=0表示 再舉一個例子 若四邊形ABCD滿足AB線段等於CD線段 且AB線段平行CD線段 則四邊形ABCD是平行四邊形 反之若四邊形ABCD是平行四邊形 則四邊形ABCD滿足AB線段等於CD線段 且AB線段平行CD線段 因為上述兩個命題是正確的 在這個例子中 四邊形ABCD滿足AB線段等於CD線段 且AB線段平行CD線段 與四邊形ABCD是平行四邊形互為充要條件 可以用四邊形ABCD滿足AB線段等於CD線段 且AB線段平行CD線段 ⇔四邊形ABCD是平行四邊形表示 接著來談等價這個概念 笛摩根定律告訴我們 非p且q和非p或非q 所對應的意思都是相同的 在這樣的情況下 我們說非p且q和非p或非q 在邏輯上等價並用符號 ～≡～p∨～q來表示 當兩個敘述所指的概念是相同時 我們會說它們等價 並用符號≡表示 或者也可以這麼說 當兩個敘述 在所有情況下的真偽都相同時 它們就等價 我們先舉一些敘述等價的例子 若敘述p表示正整數n為偶數 敘述q表示存在正整數k 使得n=2k 從概念上來看 敘述p和敘述q都表達了 正偶數2 4 6 8 10的概念 所以p等價於q 從敘述的真偽來看 如果n是正偶數的話 那敘述p和敘述q同時成立 如果n不是正偶數的話 那敘述p和敘述q同時不成立 所以這兩個敘述在任何情況下的真偽都相同 所以它們等價 接著來看看命題等價的例子 假設原命題若p則q為 若y=f是三次函數 則y=f的圖形是點對稱圖形 那麼它的否逆命題 若非q則非p就是 若y=f的圖形不是點對稱圖形 則y=f不是三次函數 從命題的真偽來看 可以判斷這兩個命題 無論在任何狀況下都是成立的 所以說這兩個命題等價 一般來說 原命題與它的否逆命題互為等價 我們用 若p則q等價於 若非q則非p表示 今天我們學到了充分條件 必要條件 充要條件 和等價這些概念 大家有沒有覺得自己的邏輯概念又更好了呢 熟悉這些邏輯概念 對於日後的學習會很有幫助喔