數學家 康托 G.Canter 德國 1845~1918 創立了集合論 不但解決了一些無限大的問題 也推動了後來數理邏輯的發展 把一群事物聚集在一起就形成了集合 僅僅是這樣簡單的想法 竟然就成為了許多數學理論的基礎 實在是令人玩味 今天我們就一起來認識什麼是集合吧 把一群有明確意義的事物聚集在一起 就形成了集合 例如把班上的同學聚集在一起 就形成班級這個集合 把筆 立可帶 尺聚集在一起 就形成文具的集合 數學上常常是把一些數字聚集在一起形成集合 並用大寫字母 A B C等等來區別 稱作集合A 集合B 集合C 而集合內的數字我們就稱為元素 當我們要具體告訴別人集合內有哪些元素時 有兩種常用的方法 第一種是列舉法 將所有元素寫在大括號內 並用逗號隔開 這樣的方法可以很清楚的看出 集合內有哪些元素 例如集合A等於1 2 3 或是集合B等於2分之1 -1 0 π 根號5 第二種是描述法 當集合內的元素很多 或是想要呈現出集合內元素的特性時 就可以用描述法 描述法是在大括號內用符號來表示元素 並畫一條直線後 寫下符號所代表的意義 例如集合C等於x -5≤x≤10且x為整數 表示集合C為-5到10之間的整數所形成的集合 或是集合D等於2n減1 n為自然數 表示集合D為正奇數所形成的集合 列舉法和描述法是可以互相轉換的 以集合A等於1 2 3來說 也可以用描述法寫成 集合A等於x 1≤x≤3 x為整數 或是集合A等於x x為方程式=0的根 而對集合C等於x -5≤x≤10 x為整數來說 也可以用列舉法表示為 集合C等於 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 只不過要寫很久而已 這也告訴我們 集合的表達方式不是唯一的 集合內的元素個數如果是有限多個 那我們就稱它為有限集合 如果集合內的元素個數是無窮多個 那我們就稱它為無窮集合 以剛剛的集合A B C D為例 集合A B C是有限集合 而集合D是無窮集合 我們可以利用n來表示有限集合A的元素個數 前面的n是number的意思 所以如果A等於1 2 3 則n=3 若B等於2分之1 -1 0 π 根號5 則n=5 特別地當集合內一個元素都沒有時 我們稱它為空集合 用∅或是空的大括號來表示 此時空集合的元素個數等於0 元素是集合的一份子 它隸屬於集合內 我們把這樣的關係用符號∈來表示 念作屬於 另外如果一個元素不屬於集合內 那我們就用∉來表示 念作不屬於 例如以集合A等於1 2來說 1 2都是集合A的元素 所以1∈A 2∈A但3∉A 假設現在有一個更大的集合B=1 2 3 我們發現所有集合A的元素同時都是集合B的元素 也就是集合A是集合B的一部分 這時候我們會用符號A⊆B來描述這樣的概念 ⊆念作包含於 或是反過來寫作B⊇A也可以 其中⊇念作包含 無論是包含於還是包含 同學只要記得開口朝向比較大的那個集合就對了喔 當所有集合A的元素同時都是集合B的元素時 就表示A⊆B 這時我們稱集合A為集合B的子集合或部分集合 我們規定空集合是任何集合的子集合 舉例來說 當集合B=1 2 3時 它的子集合有∅ {1} {2} {3} {1,2} {1,3} {2,3} {1,2,3}這8個 這邊有兩個特別的事情 就是∅是集合B的子集合 而且B=1 2 3也是集合B的子集合 因為這兩個集合都符合子集合的定義 當A⊆B且B⊇A時 我們說集合A和集合B相等 並用A=B來表示 從這個定義可以得出一個奇妙的結論 假設集合A=2 1 集合B=2 1 1 2 1 那麼 1∈A 1∈B 2∈A 2∈B 所有集合A的元素同時都是集合B的元素 所有集合B的元素也同時都是集合A的元素 這代表兩個集合相等 集合A等於集合B 這件事告訴我們 集合內元素是不用考慮 前後順序及重複次數的 只要擁有的元素一樣 那就是同一個集合 今天我們學會了集合的基本觀念 之後我們會學到更多集合的進階概念喔