上一部影片我們談到集合

把一群有明確意義的事物聚集在一起

就形成了集合

集合常用大寫字母來區別

並有列舉法和描述法兩種呈現方式

例如 A={1 , 2 , 3}

或是 B={x|-5≤x≤10, x為整數}

除此之外

我們也可以用圖形輔助思考

將平面的一個區域圍起來以表示集合

例如 A={1 , 2 , 3}就可以用圖形表示

這類的圖形稱為文氏圖

利用文氏圖我們就可以更清楚

看出集合跟集合之間的關係

以子集的概念來說

當所有集合A的元素同時都是集合B的元素時

就表示A包含於B

這時我們稱集合A為集合B的子集合或部分集合

如果用文氏圖來表達集合A和集合B的關係

那就可以清楚看出

集合A包含在集合B裡面

集合和集合之間的關係還有交集

聯集

差集

我們分別來看看

1.交集

集合A和集合B的交集

用A交集B表示

定義為A∩B={x|x∈A且x∈B}

意思就是

把同時在集合A和集合B裡面的元素拿出來

就形成A交集B這個集合

用文氏圖來表示A交集B

就是兩個集合重疊的區域

特別地當集合A和集合B中沒有共同的元素時

A交集B為空集合

2.聯集

集合A和集合B的聯集用A聯集B表示

定義為A聯集B等於x

其中x屬於A或x屬於B

意思就是把集合A和集合B的所有元素合在一起

形成一個集合

就是A聯集B這個集合

用文氏圖來表示A聯集B

就是兩個集合的所有區域

3.差集

集合A對集合B的差集用A差集B表示

定義為A差集B等於x

x屬於A且x不屬於B

意思就是把集合A的元素刪去那些也在集合B裡的元素

就形成A差集B這個集合

用文氏圖來表示A差集B

就是集合A的區域扣掉A交集B的區域

值得注意如果是集合B對集合A的差集

B差集A

那就是完全不同的區域了

B差集A是集合B的區域扣掉A交集B的區域

介紹完交集 聯集 差集的概念後

來看一個實際的例子吧

例題 設A={x|-2≤x＜3}

集合B={x|1＜x≤5}

試求 A交集B

A聯集B

A差集B

解答

如圖紅色的範圍表示集合A的元素

藍色的範圍表示集合B的元素

A交集B的元素就是重疊的範圍

所以A交集B={x} 其中1＜x＜3

A聯集B的元素就是全部的範圍

所以A聯集B={x} 其中-2≤x≤5

A差集B的元素就是紅色的範圍扣掉重疊的範圍

所以A差集B={x} 其中-2≤x≤1

在討論集合時

我們會依據所討論的內容

設定一個最大的範圍

此範圍就稱為宇集

常記為集合U

若用文氏圖來表示

常常用長方形的範圍來呈現

例如當我們討論丟一次骰子的機率問題時

點數1到6所形成的集合就是此時的宇集

U={1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6}

或者當我們討論三角形的問題時

所有三角形所形成的集合就是此時的宇集

有了宇集的概念後

就可以討論補集的概念了

集合A的補集用A'表示

定義為A'={x} 其中x不屬於A

意思就是在宇集內

但不在集合A裡的元素所形成的集合

用文氏圖來表示A'就是集合A以外的區域

但是要在宇集U裡面

因為宇集是我們討論的最大範圍

介紹完宇集和補集的概念後

來看一個實際的例子吧

例題

設宇集U={x} 其中-3≤x＜5

集合A={x} 其中1＜x≤2

試求A'

解答

如圖紅色的範圍表示宇集U的元素

藍色的範圍表示集合A的元素

A'的元素就是紅色以內但藍色以外的範圍

所以A'={x} 其中-3≤x≤1

或2＜x＜5

今天我們介紹了集合和集合之間的關係

有交集 聯集 差集

它們都可以用文氏圖來表示

並且我們也介紹了宇集和補集的概念

這些概念在之後學習排列組合的時候會很有用喔