在之前的影片中

我們曾經學過邏輯的笛摩根定律

同學還記得嗎

邏輯的笛摩根定律告訴我們

非p且q等價於非p或非q

以及非p或q等價於非p且非q

這部影片要帶同學

認識集合的笛摩根定律

它在概念上跟邏輯的笛摩根定律很類似

我們一起來看看吧

集合的笛摩根定律也有兩個部分

分別是'

等於A'聯集B'

以及'

等於A'交集B'

我們可以利用文氏圖來說明

首先畫出宇集

集合A和集合B

接著畫出A'和B'所代表的範圍

然後我們就可以觀察出

A'聯集B'的範圍

就是A交集B以外的範圍

所以得知'

等於A'聯集B'

而A'交集B'的範圍

就是A聯集B以外的範圍

所以得知'

等於A'交集B'

那集合的笛摩根定律

和邏輯的笛摩根定律

有什麼類似之處呢

我們舉一個實際的例子來說明

首先假設敘述p表示英文成績及格

敘述q表示數學成績及格

接著令全班同學所形成的集合為宇集

並把英文成績及格的同學抓出來

形成集合A

把數學成績及格的同學抓出來

形成集合B

那麼我們可以發現

非p表示英文成績不及格

也就是集合A'裡的那些同學

非q表示數學成績不及格

也就是集合B'裡的那些同學

所以由此得知

邏輯中非的概念

是對應到集合裡面補集的概念

除此之外

p且q表示英文和數學都及格

也就是A交集B的那些同學共同的特性

p或q表示英文或數學至少一科及格

也就是A聯集B的那些同學共同的特性

所以由此得知

邏輯中且的概念

是對應到集合裡面交集的概念

而邏輯中或的概念

是對應到集合裡面聯集的概念

綜合剛才的討論

我們就可以將邏輯的笛摩根定律

改寫成集合的笛摩根定律

得到'

等於A'聯集B'

以及'

等於A'交集B'

為了讓同學熟悉笛摩根定律

我們接下來會舉一些實例來說明

例1 設宇集U={1,2,3,4,5,6,7,8}

集合A={1,3,5,7}

集合B={1,2,3,5,8}

試求'

'

A'聯集B'

A'交集B'

並檢驗笛摩根定律

'等於A'聯集B'

以及'等於A'交集B'

解答

由集合的概念可知

A交集B等於{1,3,5}

所以'等於{2,4,6,7,8}

A聯集B等於{1,2,3,5,7,8}

所以'等於{4,6}

而A'等於{2,4,6,8}

B'等於{4,6,7}

所以A'聯集B'等於{2,4,6,7,8}

A'交集B'等於{4,6}

由此可知'等於A'聯集B'

且'等於A'交集B'

所以笛摩根定律正確

了解集合的笛摩根定律

對於計數的問題是有幫助的

我們看以下的例子

例2 在1到20的正整數中

有哪些數字不是2的倍數也不是3的倍數

解答

設宇集U是1到20的正整數所形成的集合

集合A是1到20當中

2的倍數所形成的集合

集合B是1到20當中

3的倍數所形成的集合

根據題意要求的是A'交集B'

而由笛摩根定律可知

'等於A'交集B'

所以我們求'就可以了

因為A={2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}

B={3,6,9,12,15,18}

可推得A聯集B等於{2,3,4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,
20}

'等於{1,5,7,11,13,17,19}

所以在1到20的正整數中

不是2的倍數也不是3的倍數有

1 5 7 11 13 17 19