計數的意思就是數數看有幾個 日常生活中我們會數有幾天 有多少錢 或是有多少杯飲料 更進一步學習了計數的法則 就會有許多的應用了 同學們應該都想知道 如何計算彩券中頭獎的機率 或是探討擲兩顆骰子點數 或是探討擲兩顆骰子點數 和出現的機率 計算某些機率的問題 都會將計數的結果相除 因此要討論機率的問題 那就先從計數好好學起吧 要計算有幾個 最直接的方式就是 列出所有狀況後一個一個數 我們把這樣的方法稱為窮舉法 例如兩個人猜拳一次 請問有幾種不同的出拳結果是平手的 每個人都有三種出拳方式 剪刀 石頭 布 只要兩個人出一樣的就平手 我們很容易就把平手的狀況列出來 分別是剪刀 剪刀 石頭 石頭 布 布 所以有三種 如果情況稍微複雜一點 那很有可能會漏算或是多算 這時我們可以利用樹狀圖 來幫助我們分類窮舉 例如甲 乙兩隊打籃球比賽 約定三戰兩勝且無和局 請問有幾種比賽情形可以分出最後的勝負 第一場有可能甲隊贏或乙隊贏 所以我們畫出分支 接著第二場也可能甲隊贏或乙隊贏 我們再畫出分支 此時最上面的分支 表示甲隊已經連贏兩場取得勝利 就不用再打第三場 同理最下面的分支 表示乙隊取得勝利 也不用打第三場 而中間的兩個分支 由於都是一比一平手 所以要打第三場 再畫出第三排分支 於是從這個樹狀圖就可以清楚算出 共有6種比賽情形 除了樹狀圖可以幫助我們有系統地窮舉以外 還有加法原理 乘法原理 取捨原理可以使用 我們一一來介紹 首先是加法原理 想像我們要從甲城市到乙城市遊玩 可以選擇開車 搭船或搭飛機 而開車有3條不同路線 搭船有2條不同路線 搭飛機則只有1條路線 請問我們總共有幾條路線可以選擇 其實想法非常簡單 就是3+2+1=6 所以有6條路線可以選擇 像這樣把一個事物分類之後 每一類的屬性不同不會重複 再把各類的數量加總起來 這就稱為加法原理 想法雖然簡單但很重要 加法原理 若某種事物可以分成k類 各類之間都不重複 且第1類有n 個 第2類有n 個 依此類推 第k類有n 個 則這個事物的總個數有 n +n 一直加到n 個 接著是乘法原理 想像我們要從甲城市到丙城市遊玩 但因為路途遙遠 中間要在乙城市休息 從甲城市到乙城市有3條不同路線 乙城市到丙城市有2條不同路線 請問我們從甲城市到丙城市 總共有幾條路線可以選擇 假設從甲城市到乙城市的路線為1 2 3 從乙城市到丙城市的路線為a b 利用樹狀圖列舉後 可知道有6條路線可以選擇 觀察樹狀圖可以發現 一開始無論走了1 2 3的哪一條路 接著都還有a b兩條路可以選 所以我們可以直接計算3×2=6 像這樣把完成一個事物的過程 分成不同的步驟 再把各個步驟的數量乘起來 這就稱為乘法原理 乘法原理 若某種事物的過程可以分成k個步驟 且完成第1個步驟有n 種方法 完成第2個步驟有n 種方法 依此類推 完成第k個步驟有n 種方法 則完成這個事物的總方法數有 n ×n 一直乘到n 種 如果某種事物的分類情形沒有重複 那就可以用加法原理來計數 但如果各類之間有所重複 那要如何計數呢 假設我們要計數的事物分成A B兩類 這兩類之間有所重複 以文氏圖表示如下 當我們要計算時A聯集B的元素個數時 如果直接把A的元素個數 和B的元素個數加在一起 那中間重疊的A交集B的元素個數 就會算到兩次 這時只要把一個扣掉就好 於是我們得到等式 A聯集B的元素個數 等於A的元素個數加B的元素個數 減A交集B的元素個數 這個式子就稱為取捨原理 取捨原理不但可以適用在兩個集合之間 還可以推廣到三個集合 以文氏圖表示如下 當我們要計算A聯集B聯集C的元素個數時 如果直接把A的元素個數 B的元素個數 和C的元素個數加在一起 那中間重疊的區域有些算到兩次 有些算到三次 這時我們先扣掉A交集B的元素個數 B交集C的元素個數 和A交集C的元素個數 此時正中間的區域 A交集B交集C的元素個數 又沒有算到了 再把它加回來 於是我們得到等式 A聯集B聯集C的元素個數 等於A的元素個數 加B的元素個數 加C的元素個數 減A交集B的元素個數 減B交集C的元素個數 減A交集C的元素個數 加上A交集B交集C的元素個數 我們將兩個與三個集合的取捨原理整理如下 設A B C為有限集合 則A聯集B的元素個數 等於A的元素個數加B的元素個數 減A交集B的元素個數 A聯集B聯集C的元素個數 等於A的元素個數 加B的元素個數 加C的元素個數 減A交集B的元素個數 減B交集C的元素個數 減A交集C的元素個數 加上A交集B交集C的元素個數