學校某處的樓梯共有五層階梯

每一層階梯上都標有連續的正整數

1 2 3 4 5

若想要將這五個數字全部相加

這就是之前學過的級數問題

可以表示為 1加2加3加4加5

其總和為15

那今天如果要把這五個數字全部乘起來呢

乘出來所得到的數字

想必會比相加的結果15來的大吧

讓我們來計算 1乘2乘3乘4乘5

其相乘的值為120

的確比相加來的大

可是校園內還有一處10層的階梯

上面依序也都標有

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

若要求這些數字的總和

1加2加3加4加5加6加7加8加9加10

我們可以利用級數和的公式得知總和為

二分之括號1加10乘以10

等於55

但如果要求出這些數字的相乘的結果呢

對於 1乘2乘3乘4乘5乘6乘7乘8乘9乘10

我們可以拿出計算機按出最後的結果

為3628800

的確比總和55大的多

1乘2乘3乘4乘5乘6乘7乘8乘9乘10

這個式子雖然看起來簡單

但寫起來挺麻煩的

為了方便表達這樣連續自然數的乘積

我們將式子用10階乘來表示

這表示

1乘2乘3乘4乘5乘6乘7乘8乘9乘10

等於10階乘

等於3628800

其中10!讀作10的階乘

表示1乘到10的數值

對於任意自然數n

所謂n的階乘就表示1乘到n的數值

以符號記為n!

讀作n的階乘

表示1乘2乘3

一直乘到括號n減1乘n的值

例如

1的階乘等於1

2的階乘等於1乘2等於2

3的階乘等於1乘2乘3等於6

4的階乘等於1乘2乘3乘4等於24

5的階乘等於1乘2乘3乘4乘5等於120

6的階乘等於1乘2乘3乘4乘5乘6等於720

我們可以發現2的階乘

乘以3等於3的階乘

3的階乘乘以4

等於4的階乘

4的階乘乘以5

等於5的階乘

5的階乘乘以6

等於6的階乘

依此類推

不難得知括號n減1的階乘

乘以n等於n的階乘

特殊情況對於n的階乘的概念

當n等於0時

0的階乘我們將其定義為1

為何要定義0的階乘等於1呢

這個在後續的單元我們再進行解釋

讓我們來做個簡單的練習

計算下列各式的值

數獨是一個受歡迎的數學小遊戲

在9乘9的方格內填1到9的數字

使得每一個橫列 每一個直行

以及9個特定的3乘3的方格中

皆恰好填滿 1到9

那麼上方的橫列

會有幾種填數字的可能性呢

因為第一格可以有9個數字可以選擇

當選定第一格的數字後

第二格可以選擇的數字剩為8個

依此類推

根據乘法原理

我們知道最上方的橫列共可以有

9乘8乘7乘6乘5乘4乘3乘2乘1

等於9的階乘種情形

那麼對於正中間3乘以3的方格中

仔細思考一下

所有可能填數字的情形

是否也為9的階乘呢