教室裡有三個座位

依順序要將A B C三位學生安排在座位上

那麼總共有幾種不同的情形呢

我們可以依照加法原理與乘法原理

兩個不同的觀點來計算安排座位的情形

加法原理

分成三種情形

1.若A在第一個位置

則共有ABC ACB兩種排列

2.若B在第一個位置

則共有BAC BCA兩種排列

3.若C在第一個位置

則共有CBA CAB兩種排列

三種類型各有2種排列

根據加法原理

總共有2加2加2等於6種排列方式

2.乘法原理

分三個階段安排ABC的位置

1.第一個位置共有3種選擇性

2.第二個位置共有2種選擇性

3.第三個位置共有1種選擇性

根據乘法原理

總共有3乘2乘1等於6種排列方式

由此可知

不論是用加法原理或乘法原理

皆可以求得共有6種安排座位的方式

這就是直線排列的概念

讓我們來看下一個例子

學校舉辦籃球比賽

班上派出了五位學生準備上場比賽

五位同學要依序出場

若要安排五位同學的出場順序

總共有幾種不同的可能性呢

由於五個同學要安排出場的順序

我們可以將安排出場順序的過程分成5個階段

第一個出場的可能性共有5個學生可以選擇

第二個可能性就剩下4個學生可以選擇

第三個可能性剩下3個學生

第四個可能性剩下2個學生

第五個可能性只剩下1個學生可以選擇了

根據乘法原理

我們可以知道這五個同學的出場順序

共有5乘4乘3乘2乘1

等於120種不同的情形

這個算式就是我們上個單元所學到的階乘

因此五個同學出場順序的所有情形

也可以用5的階乘來表示

若將上述的情境一般化

考慮將n個不同的人或事物

依照順序排成一列

我們稱為直線排列

利用乘法原理可知共有

n乘以括號n減1

一直乘到2乘1

等於n的階乘種情形

若要利用1 2 3 4 5 6

寫出一個六位數字

其中每個數字恰用到一次

這樣的六位數字總共有多少個呢

我們可以把問題解讀為

將1 2 3 4 5 6進行直線排列

每一種直線排列的情形

都表示一個六位數字

因此滿足條件的六位數字

共有6的階乘等於720種

已知數獨中間的9宮格

已填入1 5 6 9

若僅考慮中間的9宮格

則共有幾種填數字的方法

因為剩下的五格必須填入2 3 4 7 8

因此考慮2 3 4 7 8的直線排列

每一個直線排列的情形

就代表依序將數字填入的方法

例如考慮直線排列4 3 7 2 8

則依序將4 3 7 2 8填入格子內即可

故共有5的階乘種可能性

3.棒球隊共要安排9個人的打擊順序

已知打擊率較高的3人A B C

必定要安排在中心棒次

第3 4 5棒

而打擊率較差的2人D E要安排在第8 9棒

而其餘4人F G H I任意安排在剩餘的棒次

則總共有幾種打擊順序的安排呢

因為A B C要安排在第3 4 5棒

因此共有3階乘種可能性

而D E要安排在第8 9棒

所以共有2階乘種可能性

剩餘的4人F G H I可任意安排在剩餘的棒次

也就是第1 2 6 7棒

所以共有4階乘種可能性

根據乘法原理

我們可知共有

3階乘 乘以2階乘 乘以4階乘

等於6乘以2乘以24

等於288種安排打擊順序的可能