有五位學生A B C D E

要選出三個學生安排在教室裡的三個座位

那麼總共有幾種不同的安排情形呢

這個問題等同於

從5個人中選出3個人排成直線隊伍

根據乘法原理

第一個位置有5個選擇

第二個位置有4個選擇

第三個位置有3個選擇

因此共有5乘以4乘以3

等於60種不同的排列數

若今天學生人數提升到10人

要選出4個人安排在4個座位中

那麼我們一樣可以利用乘法原理

得知排列的方法數為

10乘以9乘以8乘以7

等於5040種

從5個人選出3人排列的方法數為

5乘以4乘以3

我們可以透過階乘的符號來表示為

5乘以4乘以3

等於2乘以1分之

5乘以4乘以3乘以2乘以1

等於2階乘分之5階乘

同樣的想法從10個人選出4人排列的方法數為

10乘以9乘以8乘以7

我們一樣可以將這個算式用階乘的符號來表示為

10乘以9乘以8乘以7

等於6階乘分之10乘以9乘以8乘以7乘以6階乘

等於6階乘分之10階乘

若將上述的情境一般化

考慮將n個不同的人或事物從中選出k個

其中k大於等於1小於等於n排成一列

我們將方法數記為Pn取k

利用乘法原理可知共有

n乘以括號n減1

一直乘到括號n減k加2

乘以括號n減k加1種情形

從中可看出Pn取k就是從n開始以下

連續k個整數的乘積

透過階乘的符號可以將算式改寫為

因此將n個不同的人選出k個排列的方法數

Pn取k等於

括號n減k的階乘分之n階乘

特別的當k等於n時

考慮從n個不同的人選出n個的排列

等於所有人都要排列

因此方法數為n階乘

由此可瞭解為何在介紹階乘的概念時

我們將0的階乘定義為1

當k等於0時

考慮從n個不同的人選出0個的排列

等於沒有人要排列

因此方法數為1種

若班上共有30位同學

今天要選出4個人分別擔任

班長 副班長 風紀 總務等幹部

則共有多少種不同的情形呢

我們可以把問題解讀為

將1 2一直到30號

從中選出4個數字進行直線排列

每一種排列的情形就表示一種擔任幹部的結果

因此共有

已知數獨題目中間的9宮格有給予4個數字

位置分別在藍色區域內

則共有幾種情形

因為剩藍色區域的格子必須填入

1 2一直到9

因此考慮1 2一直到9中選出4個數字的排列

每一個排列的情形

就代表依序將數字填入的方法

故共有