有兩位學生A B

在排成一列的6個座位中

選坐相連的兩個座位

那麼總共有幾種不同的安排情形呢

像這樣有限制條件下的排列問題

我們就必須利用基本計數原理的概念來解決問題

因為A B兩人要選相連的兩個座位

第一階段先透過窮舉法

可以知道連續兩個座位總共有5種情形

而每一個連續兩個座位決定之後

第二階段A B兩人

就在此兩個連續的座位當中進行排列

有2階乘種可能性

根據乘法原理

要將兩人安排至相連的座位中

共有5乘以2階乘等於10種情形

在本單元的影片中

我們將介紹一些常見的

有限制條件的排列問題

讓我們再看一個安排座位的問題

今有4位男生A B C D

與3位女生E F G總共7人

若要將此7人排成一列

我們都知道總共有7階乘種情形

但如果考慮下列不同的限制條件

那麼各會有幾種排列的情形呢

條件1 A B要相鄰

因為A B要相鄰

我們就先將A B合併為一個新的物件

第一階段將這個新的物件跟C D E F G一起排列

共有1加5階乘等於6階乘種情形

第二階段我們去考慮這個新的物件

內部的A B可以交換順序

因此有2階乘種變化

根據乘法原理

可知A B要相鄰的排列方法

共有6階乘乘以2階乘等於1440種情形

條件2 A B不相鄰

由於A B相鄰的否定即為A B不相鄰

我們這個時候可以考慮

將全部所有的情形7階乘種

扣除掉A B相鄰的情形

6階乘乘以2階乘種

所以A B不相鄰共有

7階乘減掉6階乘乘2階乘

等於5040減1440等於3600種情形

條件3 A B相鄰且C D相鄰

因為A B相鄰且C D相鄰

同樣的將A B兩人合併為一個物件

C D兩人也合併為一個物件

則考慮5個物件的排列為5階乘

而A B兩人可交換位置

C D兩人也可交換位置

所以共有5階乘乘2階乘乘2階乘

等於480種情形

條件4 A B要相鄰C D不相鄰

這個時候我們首先討論A B相鄰的情形

我們先將A B兩人合併為一個物件

然後考慮6個物件排列為6階乘

因為A B兩人內部可以自己交換位置

所以還有2階乘變化

所以共有6階乘乘2階乘等於1440種情形

但因為裡面包含C D相鄰的情形

所以我們要從1440種情形

將C D相鄰的狀況給排除掉

因此我們必須討論

A B相鄰且C D也相鄰的情形

同樣的將A B兩人合併為一個物件

C D兩人也合併為一個物件

則考慮5個物件的排列為5階乘

而A B兩人可交換位置

C D兩人也可交換位置

所以共有5階乘乘2階乘乘2階乘

等於480種情形

因此A B要相鄰C D不相鄰的情形共有

1440減480等於960種排列的情形

條件5 3位女生要完全相鄰

如果這三位女生這麼想要坐在一起的話

那麼我們就先把這三位女生

合併起來看成是一個新的物件

第一階段我們先考慮4位男生跟這個3位女生

合併的物件一起進行排列

因此共有4加1階乘等於5階乘種情形

第二階段我們考慮這個新的物件的內部情形

因為3個女生在相鄰的位置中

可以自行換位置

因此這個新的物件的內部共有3階乘種情形

根據乘法原理

4位男生與3位女生排列

且女生要相鄰的情形

共有5階乘乘以3階乘等於720

條件6 男女生相間隔

因為男女生要相間隔就坐

3位女生一定要個別安排在4位男生之間的位置

才能把4位男生全部隔開

因此座位的性別順序即為

男女 男女 男女 男

所以性別順序只有一種情形

接下來只需要討論4位男生之間的順序

為4階乘

再來討論3位女生的順序為3階乘

利用乘法原理可知

要將4男3女排成一列

且男女生相間隔的情形

共有4階乘乘以3階乘

條件7 任2位女生皆不相鄰

如果3個女生任意2位都不能坐在相連的座位當中

那麼就必須利用男生來把3位女生給隔開

因此我們可以考慮將3位女生安排在

4位男生所創造出來的空位

然而4位男生共有5個空位可以安排女生

我們欲從中選出3個位置來安排女生的座位

利用窮舉法

可以知道共有10種情形

一旦確定好3位女生要安排的位置後

4位男生進行排列有4階乘種

3位女生進行排列有3階乘種

因此欲要滿足任2位女生皆不相鄰的情形

共有10乘以4階乘乘以3階乘等於1440種