還記得上一個單元 我們討論了許多有關直線排列的問題 大致上都可以透過簡單的階乘運算 就可以計算出安排座位的情形 但在安排座位的問題中 有些條件因為彼此之間有連動關係 所以安排座位的情形就比較複雜 譬如說今有A B C D E F G 七人排成一列 若要求A不排在第一位 且B不排在最後一位 那麼這樣的排列共有多少情形呢 像這樣的問題 就需要使用基本計數原理中的 取捨原理來分析了 這個單元就是要探討這樣的問題 讓我們先來複習什麼是取捨原理 我們先來看兩個集合的取捨原理 考慮集合A與B 若要計算A聯集B的元素個數 則可得到關係式 A聯集B的元素個數 等於A的元素個數 加B的元素個數 減A交集B的元素個數 這就是兩個集合的取捨原理 若考慮集合A B C 則可得關係式 A聯集B聯集C的元素個數 等於A的元素個數 加B的元素個數 加C的元素個數 減A交集B的元素個數 減B交集C的元素個數 減C交集A的元素個數 加A交集B交集C的元素個數 這就是三個集合的取捨原理 我們這個單元所要討論的問題 將會介紹如何使用取捨原理 來計算符合條件要求的排列數 讓我們來看一開始所提出的問題 今有A B C D E F G七人排成一列 如果考慮下列不同的限制條件 那麼各會有幾種排列的情形呢 條件1 要求A不排在第一位且B不排在最後一位 為了方便討論 首先我們將A排在第一位的情形 記為A=1 A不排在第一位的情形 記為A≠1 同樣的將B排在第七位的情形 記為B=7 B不排在第七位的情形 記為B≠7 利用文氏圖來表示 左邊的圈圈代表A=1的情形 右邊的圈圈代表B=7的情形 最外面的框框代表 沒有任何條件下的所有排列情形 那麼我們想要求的 A不排在第一位且B不排在最後一位 即表示A≠1交集B≠7 這在文氏圖當中 就是斜線區域的部分 透過取捨原理可知 條件2 要求A不排在第一位 B不排在最中間且C不排在最後 我們一樣利用取捨原理 計算A≠1交集B≠4交集C≠7的個數 在文氏圖中三個圈圈分別代表 A=1 B=4與C=7 而三個圈圈之外的斜線區域就表示 A不排在第一位 B不排在最中間 且C不排在最後的情形 根據取捨原理可知 條件3 要求A B不排在第一位 且C D不排在最後 為了方便分析 我們將A=1聯集B=1的情形記為S 將C=7聯集D=7的情形記為S 對於集合S 的元素個數 因為A B不可能同時排在第一位 所以A=1交集B=1等於空集合 這表示A=1交集B=1的元素個數等於0 由此可知 現在考慮S 與S 的交集 S 交集S 因為S 交集S 共有四大類 分別為A=1且C=7 A=1且D=7 B=1且C=7 B=1且D=7 考慮A=1且C=7的情形 因為A與C都已經就定位 所以剩下的5人隨意的排列則有5!種情形 同理上述四大類皆各有5!種情形 因此S 交集S 的元素個數 等於4×5! 等於480 根據文氏圖的分析 可知符合條件的集合為 A≠1交集B≠1 交集C≠7交集D≠7 其元素個數等於 全部減S 聯集S 的元素個數