先前所討論的排列問題 所涉及的人或物件都是不相同的 倘若所要排列的物件中 有些物件是相同的 是無法區分出差異的 則整體的排列數理當應減少 至於減少的數量是否具有規則與特性 就是我們接下來所要探討 有相同物件的排列問題 例如今天要討論 一紅一藍兩顆球的排列情形 我們很容易知道共有2階乘種變化 但如果今天是兩顆長的一模一樣的紅球要排列呢 我們則可以發現 不管怎麼擺放這兩顆紅球 因為無法區別兩者之間的不同 所以看起來就是僅有一種排列的方式 若我們考慮將2顆相同的紅球與1顆藍球做排列 來看看會有幾種不同的變化 當然我們利用窮舉法不難得知 共有3種排列的情形 但這個數字 要怎麼透過階乘的觀點來求出排列的情形呢 我們利用以下的步驟 來解釋如何透過階乘的概念 來回答這個問題 首先將3顆球進行編號 有了號碼之後即視為不同的球 3顆不同的球共有 3階乘等於6種不同的排列 排列後將每顆球的編號捨棄 編號1與編號2的球即可還原為原本的相同物 因此有編號的3階乘種不同的排列中 在取消編號之後 每2階乘個排列將合併為同一個排列 因此共有2階乘分之3階乘 等於3種不同的排列 接下來考慮將3顆相同的紅球與1顆藍球做排列 來看看會有幾種不同的變化 我們一樣透過上述的步驟來分析 首先將4顆球編號視為不同球 共有4階乘等於24種不同的排列 排列後將每顆球的編號捨棄 編號1 2 3的球視為相同物 因此有編號的4階乘種不同的排列中 在取消編號之後 每3階乘個排列將合併為同一個排列 因此共有3階乘分之4階乘 等於4種不同的排列 接下來我們來看更複雜的情形 考慮3顆相同的藍球 2顆相同綠球與1顆紅球做排列 透過一樣的分析步驟 會得到什麼樣的結果呢 首先將6顆球編號視為不同球 共有6階乘種不同的排列 將編號捨棄 編號1 2 3的藍球視為相同物 編號4 5的綠球視為相同物 根據乘法原理 因此有編號的6階乘種不同的排列中 每3階乘乘以2階乘 等於12個排列 將合併為同一個排列 因此共有3階乘乘2階乘分之6階乘 等於60種不同的排列 如果相同顏色的種類越多 透過一樣的想法 我們仍舊可以從編號後的排列 再考慮把編號取消後的重複情形 去得知排列的總數 如果今天有相同大小的4顆藍球 3顆綠球與2顆紅球 則會有幾種不同的排列情形呢 簡單來說 就是先將9顆球進行編號 然後可得9階乘個排列 然後考慮取消編號之後 因為4顆藍球的號碼有4階乘個排列 3顆綠球的號碼有3階乘個排列 2顆紅球的號碼有2階乘個排列 根據乘法原理可知 取消編號之後 每4階乘乘3階乘乘2階乘 等於288個有編號的排列 會合併為1個無編號的排列 因此共有4階乘乘3階乘乘2階乘分之9階乘 等於1260種不同的排列情形 按照上述的討論方式 我們可以將所有情形作一般性的推廣 重點在於先將所有物件 視為相異物進行編號 再考慮將編號捨棄後 即可發現依相同物件的種類與數量不同 將可做合併的動作 透過簡易的除法 即可算得所有排列數 因此我們有以下結論 設n個物件可分為A組 其中第一組為m1個相同的物件 第二組為m2個相同的物件 第k組為mk個相同的物件 其中m1加m2一直加到mk等於n 若各組之間的物件皆相異 則此m個物件的排列數為 m1!乘m2!一直乘到mk!分之n!種 丟擲一個10元銅板 已知出現3次正面 7次反面 則這10次出現的正反順序 共有幾種可能性呢 我們可以將正面記為符號O 反面記為符號X 連續丟10次銅板 將出現的正反面以O與X來表示 因為出現3次正面 7次反面 因此10次出現的正反順序的情形 可以視為3個O與7個X的排列情形 所以共有3階乘乘7階乘分之10階乘 等於120種情形 今有2枝相同的原子筆 3枝相同的鉛筆 與3枝相同的鋼筆 將所有筆分給8位學生 一人一枝 共有幾種分筆的情形呢 設8位學生為甲 乙 丙等8人 我們可以將原子筆 鉛筆 鋼筆 分別用符號A B C來表示 假設學生位置不變 每個人都是拿放在他們前面的筆 那麼我們可以將分筆的情形視為 A A B B B C C C這八個符號的排列 因此分筆的情形共有 2階乘乘3階乘乘3階乘分之8階乘 等於5605種情形 將A B C D E F G排成一列就坐 若要求A要排在B之前 且B要排在C之前 則安排座位的結果共有幾種情形呢 首先因為A B C三個人在座位上有順序的要求 所以我們先將這三個人的座位保留 將三個座位以符號x x x表示 接下來考慮x x x D E F G的排列 可知共有3階乘分之7階乘種變化 由於符號x x x是保留給A B C三人的座位 然而因為A要排在B之前 且B要排在C之前 所以A B C安排坐進三個保留座位的方式只有一種 因此符合條件的排列情形共有 3階乘分之7階乘等於840種情形