在現實生活中 有些排列問題的物件可以重複的出現 例如提款卡密碼 sim卡的pin碼 車牌號碼 學號等等 以設定提款卡密碼為例 若今日想使用0到9的整數 設定一個四位密碼 則所有情形為0000到9999 共一萬個可能性 設定密碼的問題中 若四位密碼其首位數字為0 後續的數字仍可以繼續使用0 設定為其密碼中的數字 有關物件可以重複使用的排列問題 我們稱之為重複排列 這樣設定密碼的問題 第一位密碼有0到9共10種選擇 而第二位密碼 依然可以使用0到9的數字 也是有10種選擇 第三位密碼也有10種選擇 第四位密碼也有10種選擇 利用乘法原理可知設定密碼共有 10×10×10×10=10000種不同的情形 以汽車車牌為例 汽車車牌共有六碼 若規定車牌的規格前四碼為阿拉伯數字 後兩碼為英文字母 請問此規格的車牌碼共有幾種呢 因為前四碼為阿拉伯數字 每位數字都可以重複使用 因此每一碼皆有0到9共10個數字可以選擇 而後兩碼皆為英文字母 英文字母也都可以重複使用 因此每一碼皆有26個字母可以選擇 根據乘法原理可知 此規格的車牌號碼共有 10×10×10×10×26×26 等於6760000種變化 以下我們將透過幾個不同的情境 說明重複排列問題的面向 今天有5本不同的書A B C D E 要全部分給甲 乙 丙三人 求共有幾種分書的結果呢 因為沒有任何發書的限制 所以每一本書都可以選擇給 甲 乙 丙其中一人 因此共有 3×3×3×3×3 等於3的五次方種不同分書的結果 而每一種分書的情形 都可以視為是一種物件的排列 將甲 乙 丙三個物件排列至5本書的下方 其中甲 乙 丙可以重複的出現 而5本書對應到的物件 就表示要將該書分給此人 例如 甲乙甲丙丙這個排列 就表示甲獲得A C兩本書 乙獲得B這本書 丙獲得D E兩本書 若今天要求甲至少拿一本書 那麼共有幾種分書的結果呢 因為甲至少拿一本書的情形 等於所有的情形 排除掉甲一本都沒有拿到的情形 已知所有的情形共有3的五次方種 而甲一本都沒有拿到的情形 表示5本書只能分給乙 丙個兩人 因此有2的五次方種 所以甲至少拿一本書的可能情形共有 3的五次方減2的五次方 等於211種 從淡水渡河到八里 有甲 乙 丙三艘不同的船可以選擇搭乘 每艘限載4人 若今天有4人A B C D欲搭船 則共有幾種選船搭乘的情形 因為每個人都可以選擇自己喜歡的船搭乘 而且被選過的船 依舊可以被重複選擇 因此共有 3的四次方等於81種 不同的搭乘情形 而每一種選船搭乘的情形 也可以視為是一種物件的排列 將甲 乙 丙三個物件排列至4個人的下方 其中甲 乙 丙可以重複的出現 而4個人對應到的物件 就表示這個人選擇該船搭乘 例如 甲乙甲丙這個排列 就表示A C選擇甲船 B選擇乙船 D選擇丙船 若今天有5人A B C D E欲搭船 則共有幾種選船搭乘的情形 若讓5人任意選擇搭船 則每個人都可以有3種選擇 所以共有3的五次方種情形 但是每艘船最多只能搭乘4人 所以不允許5個人都選擇同一艘船搭乘 這樣的超載情形共有3種情形 此時我們只要將不合理的搭乘方式排除掉即可 故5人共有3的五次方減3 等於240種合理的搭乘情形 不論是發書的問題 或是搭船的渡河問題 每一個情形都可以視為是一種物件的排列 特別的地方在於每種物件可以重複的出現 像這樣的排列問題 我們稱為重複排列 其計算方式如下 由n種不同的物件中任選出k個排成一列 若每種物件可以重複出現 其排列的方法共有 連續k個n相乘 等於n的k次方種 在這樣的重複排列的問題當中 我們得要釐清 那個角色是要扮演可以重複的物件 那麼該物件的數量就當作底數 而不可重複的物件數量就當成指數 如此一來 底數跟指數的部分我們才不會弄錯 例如將不同書分給人的問題 因為人是可以重複拿到書的 因此人的數量就當成底數 而書本的數量就成為了指數 所以5本不同的書要分給3個人的方法數 共有3的五次方種 而在搭船問題中 因為船是可以被重複選取的 因此船的數量就成為了底數 而人的數量就成為了指數 所以4個人搭乘3艘船的情形 共有3的四次方種