先前的單元 我們都是在探討排列的問題 排列 顧名思義是要考慮物件的順序 然而有些情況下 我們並不考慮物件的順序 只需考慮物件的內容 而組合 指的就是無關順序的物件內容 也就是說 排列是考慮物件的內容與順序 但組合僅考慮物件的內容 例如 平面坐標與是視為不同點坐標 因為第一個數字代表點在x軸上的位置 而第二個數字代表點在y軸的位置 所以2與3的順序不同 將決定不同的坐標 因此由2與3所能決定的平面坐標共有兩個 其數量上就是2與3的排列數 2階乘 然而集合2 3與3 2是視為相同的集合 因為對於一個集合 我們只考慮集合內包含什麼元素 我們並不考慮集合內的元素順序 所以2與3的順序不同 將決定相同的集合 因此由2與3所能決定的集合只有1個 生活中有許多考量都不考慮物件的順序 只關心物件的內容 籃球比賽中 從登錄的12位球員中 欲選出5名先發球員 我們一般人只關注是那5個人為先發球員 其中先發球員我們並不會考慮出場先後順序 這就是組合的概念 這個單元我們就是要探討 這種不考慮排列順序 只關心物件內容的問題 因為不考慮順序 所以我們習慣將考慮的情形 用集合的方式來表達 若今要從4位人選a b c d中 選出2位班級代表 我們欲考慮所有的情形 由於數量不多 我們可以將所有的情形窮舉出來 選出2位班級代表的情形為 {a , b} {a , c} {a , d} {b , c} {b , d} {c , d} 共有6種情形 讓我們用這個例子來觀察 有順序與無順序之間的關聯性 考慮排列 若從a b c d任選出2人排列 則共有P4取2 等於2階乘分之4階乘 等於4乘以3 等於12種方法 分別為 取消順序 上述12種排列情形若不考慮順序 即可發覺每2組排列 皆可合併為1個組合的情形 其中 合併為{a , b} 合併為{a , c} 合併為{a , d} 合併為{b , c} 合併為{b , d} 合併為{c , d} 因此可知共有2階乘分之12 等於6種組合的情形 經過上述例子的比較 我們發現在計算排列數P4取2之後 因為兩個元素的排列有2階乘種情形 若將順序取消 則將排列數除以2階乘即為組合的情形 讓我們來看另一個例子 今有5顆顏色不同的球 若從中任取3顆球 有幾種不同的組合情形呢 依循剛才的概念 我們可以先考慮排列數 P5取3等於2階乘分之5階乘 等於5乘以4乘以3 等於60 這表示5顆不同的球 取出3顆球排列的情形共有60種 倘若我們今天將這60種排列的情形取消順序 因為每個情形都是3個元素在排列 因此取消排列順序後 我們會發現 每3階乘個排列的情形 都會合併為1個組合的情形 因此5顆不同的球取出3顆球的組合情形 共有3階乘分之P5取3 等於2階乘乘以3階乘分之5階乘 等於10種 經由上面的討論 我們可以從中看出排列與組合本質上的差異性 對於一般情形 從n個不同的物件中 任意取出k個物件的組合情形 可以透過兩個步驟的討論 步驟1 考慮有順序的排列 則共有Pn取k等於 n減k的階乘分之n階乘種排列情形 步驟2 將上述的排列情形捨棄物件的順序 即可知每k階乘個排列 將合併為1個組合情形 故從n個不同的物件中 任意取出k個物件的可能性 共有k階乘分之Pn取k 等於n減k的階乘乘以k階乘 分之n階乘種不同的組合 我們將其稱為從n中取k的組合數 並記為Cn取k 意即為Cn取k等於k階乘分之Pn取k 等於n減k的階乘乘以k階乘分之n階乘 因此對於組合數我們的定義如下 組合數Cn取k 由n個不同的物件中任選出k個為一組 其中k大於等於0 小於等於n 組內物件不考慮順序 其物件的內容共有 Cn取k等於k階乘分之Pn取k 等於n減k的階乘乘以k階乘分之n階乘種情形 稱為n中取k的組合數 特別的Cn取n等於1 Cn取0等於1 從上述定義可以看出 組合與排列的關係 其中排列數Pn取k可以分解為兩個動作 先是考慮從n個不同的物件中 任意取出k個物件的組合數Cn取k 再考慮選出來的k個物件的排列數k階乘 根據乘法原理可知排列數為 Pn取k等於Cn取k乘以k階乘 臺灣彩券大樂透是由1到49號 隨機選出6個號碼作為中獎號碼 若買的6個數字全部和中獎號碼一樣 則中頭獎 因為中獎號碼不考慮選號的順序 只考慮號碼的內容 這就是組合的概念 所以中獎號碼共有 C49取6等於43階乘乘以6階乘 分之49階乘 等於13983816種組合情形 然而有一些問題必須要透過一一對應原理 才能把原本的問題轉換為組合問題來計算 例如有一列火車車廂編號為1到10號 若欲指定其中三節車廂設置吸煙區 要求任兩個吸煙區車廂皆不相鄰 則有幾種指定方法呢 因為吸煙區車廂必須分開 因此必須用正常的車廂將吸煙區車廂隔開 所以3個吸煙區車廂必須安排在7個正常車廂 所創造出來的8個空隙中 因此共有C8取3等於5階乘乘以3階乘 分之8階乘 等於56種安排吸煙區車廂的情形