對於排列組合前面幾個單元

我們已經瞭解了基本的概念

讓我們先複習排列與組合的計數方式

1.將n個不同物品排成一列

共有n階乘種不同的情形

第2.從n個不同物品選出k個排成一列

共有Pn取k

等於括號n-k的階乘分之n階乘種

不同的排列

第3. 從n個不同物品選出k個物品

共有Cn取k

等於括號n-k的階乘

乘上k階乘分之n階乘種

不同的組合

許多的問題並非單一概念就可以計算清楚

需要綜合運用排列與組合兩種思維

才能精確的計算數量

這個單元我們就是要透過

各種不同的情境問題

去瞭解如何善用排列與組合這兩個觀念

今有4男6女共10人

欲從中挑選出3男2女排成一列

則共有幾種排列的情形呢

首先我們先考慮3位男生的身份

必須是由4位男生中挑選出來的

所以從4位男生中選出3位男生的組合數為

C4取3等於4種情形

同理從6位女生中選出2位女生的組合數

為C6取2等於15種情形

因此根據乘法原理可知

3男2女這五個人的組成共有

4×15=60種情形

一旦決定好這五個人的組成

即可進行排列

可知每一種組合情形各有

5!=120種排列情形

綜合以上分析我們可以得知

從這10人挑選3男2女排成一列

共有×120=7200種不同的情形

今有不同的鉛筆4枝

相同的鋼筆3枝

欲將筆發放給5位學生

每個人只能得一枝

則共有幾種不同的情形呢

因為有鉛筆與鋼筆兩種類型的筆

所以我們可以先對於鉛筆與鋼筆的數量

進行分類討論

可以區分為鉛筆4枝與鋼筆1枝

鉛筆3枝與鋼筆2枝

鉛筆2枝與鋼筆3枝等三種情況

我們將4枝不同的鉛筆以符號A B C D表示

將3枝相同的鋼筆皆以符號E表示

對於鉛筆4枝與鋼筆1枝的情形

因為4枝鉛筆全部都要發給學生

而鋼筆皆為相同

因此只有C4取4等於1種組合情形

也就是{A,B,C,D,E}

考慮將代號{A,B,C,D,E}在五個人的下方排列

一個排列的情形就表示一種分筆的狀況

共有5階乘個排列

根據乘法原理可知

鉛筆4枝與鋼筆1枝共有

C4取4乘以5階乘等於120種情形

對於鉛筆3枝與鋼筆2枝的情形

因為要挑3枝不同的鉛筆發給學生

而鋼筆皆為相同

因此有C4取3等於4種組合情形

也就是{A,B,C,E,E}

{A,B,D,E,E}

{A,C,D,E,E}

{B,C,D,E,E}這四種組合

考慮將每一種組合的代號

在五個人的下方排列

一個排列的情形就表示一種分筆的狀況

因此每種組合情形各有

2階乘分之5階乘等於60個排列

根據乘法原理可知

鉛筆3枝與鋼筆2枝共有

C4取3乘以2階乘分之5階乘

等於240種情形

對於鉛筆2枝與鋼筆3枝的情形

因為要挑2枝不同的鉛筆發給學生

而鋼筆皆為相同

因此有C4取2等於6種組合情形

也就是{A,B,E,E,E}

{A,C,E,E,E}

{A,D,E,E,E}

{B,C,E,E,E}

{B,D,E,E,E}

{C,D,E,E,E}這六種組合

考慮將每一種組合的代號

在五個人的下方排列

一個排列的情形就表示一種分筆的狀況

因此每種組合情形各有

3階乘分之5階乘等於20個排列

根據乘法原理可知

鉛筆2枝與鋼筆3枝共有

C4取2乘以3階乘分之5階乘

等於120種情形

綜合上述三種類型的討論

根據加法原理可知

發筆的情形共有

120+240+120=480種不同的情形