當我們丟擲銅板做決定

通常要求丟擲銅板的方式

會讓正反面出現的機會均等

當我們抽籤決定人選時

總要求籤筒中的東西大小質料相同

使得每支籤被抽中的機會均等

機會均等是古典機率重要的前提

我們會從這個前提出發

來定義古典機率

古典機率的定義

設一試驗的樣本空間S之樣本點為有限個

假設S中每個樣本點出現的機會相等時

定義事件A發生的機率

事件A發生的機率

等於A的元素個數

除以樣本空間S的元素個數

其中n與n分別為S與A的樣本點個數

例如擲一粒公正的骰子每面出現的機會相等

觀察所出現的點數

若事件A代表擲出3點的結果

如何用古典機率求事件A發生的機率呢

因為擲骰子所有可能出現點數為

1 2 3 4 5 6

且發生的機會均相等

所以樣本空間S等於1 2 3 4 5 6

樣本空間S的元素個數等於6

而事件A等於3

事件A的元素個數等於1

所以擲出3點的事件A發生的機率

P等於事件A的元素個數

除以樣本空間S的元素個數

等於6分之1

若事件B代表擲出點數為質數的事件

如何利用古典機率求事件B發生的機率呢

因為1 2 3 4 5 6中

質數為2 3 5

因此事件B等於2 3 5

B的元素個數等於3

所以擲出點數為質數的事件B

發生的機率

P等於事件B的元素個數

除以樣本空間S的元素個數

等於6分之3

等於2分之1

這邊我們需特別注意到

古典機率的前提是建立在

樣本空間中每一個樣本點出現的機會相等的條件下

例如在一個不透明的袋中

放置了若干個紅球與白球

每次從袋中取出一球

觀察球的顏色再放回

我們可以預期每次不是拿到紅球就是白球

我們可以說取出紅球的機率是2分之1嗎

因為無法得知袋中紅球與白球的個數

因此不能先入為主的設定

取出紅球與白球的機會相等

所以無法根據古典機率的定義說

取出紅球的機率是2分之1

若我們得知袋中有三紅球與一白球

每顆球被取出的機會相同

從袋中任取一球

觀察球的顏色

那麼取出紅球的機率為多少呢

為了凸顯樣本空間中

每個樣本點發生的機會相等

我們將紅球加以編號

因此樣本空間S等於紅1 紅2 紅3 白

而不是紅 白

因為其中樣本點紅1 紅2 紅3 白

出現的機會相等

滿足古典機率的條件

若樣本空間定為紅 白

其中樣本點紅白出現的機會不相等

則無法滿足古典機率的條件

因為取得紅1 紅2 紅3都算取出紅球

故取出紅球事件 B等於紅1 紅2 紅3

B事件的機率為

B的元素個數除以

樣本空間S的元素個數

等於4分之3

我們再舉一個例子來計算事件的古典機率

同時擲兩枚公正的硬幣

即每個硬幣出現正面與反面的機會均等

觀察出現正面或反面的情形

求出現一正面一反面的機率

為了滿足古典機率的條件

樣本空間中每一個樣本點出現的機會相等

我們將兩枚硬幣做記號加以分別

可擲兩枚硬幣結果的樣本空間S等於


樣本空間S的元素個數等於4

要注意樣本空間中

一正面與一反面出現的情形有兩種

與

因此出現一正面一反面的事件A等於


A的元素個數等於2

機率P等於

A事件的元素個數除以

樣本空間S的元素個數

等於4分之2

等於2分之1

接下來我們來看擲兩粒骰子的例子

同時擲兩粒公正骰子

觀察所出現的點數和

求出現點數和為7的機率

將兩粒骰子加以編號

觀察所出現的點數

樣本空間S等於







樣本空間S的元素個數等於36

現點數和為7的事件A等於


事件A的元素個數等於6

現點數和為7的機率P等於

A事件的元素個數除以

樣本空間S的元素個數

等於36分之6

等於6分之1