上各單元我們介紹了古典機率的定義 設一試驗的樣本空間S之樣本點為有限個 當S中每個樣本點出現的機會相等時 定義事件A發生的機率 等於事件A的樣本點個數 除以樣本空間S的樣本點個數 接下來我們就來探討一下 在古典機率的定義下 機率會有那些性質呢 接下來我們一一說明 性質一 空事件發生的機率等於0 樣本空間發生的機率等於1 因為空事件的元素個數等於0 由古典機率的定義可得 空事件發生的機率等於0 而樣本空間S發生的機率等於1 性質二 事件A發生的機率介於0與1之間 因為事件A為樣本空間S的子集 所以A的元素個數 介於0與樣本空間S的元素個數之間 由機率的定義可知 事件A發生的機率介於0與1之間 由此可知 機率最小值為0 最大值為1 生活當中一定不可能發生的事件機率為0 一定會發生的事件機率為1 我們也可以說這件事百分之百會發生 若有人說這件事百分之兩百會發生 這只是種誇飾法 因為我們可從上述性質得知 機率的最大值為百分之百 性質三 事件A沒發生的機率 等於1減去事件A發生的機率 事件A沒發生的事件即為A的補集A' 因為A補集的元素個數 等於樣本空間S的元素個數 減A的元素個數 兩邊同除以樣本空間S的元素個數 可得事件A沒發生的機率 等於1減去事件A發生的機率 接下來我們介紹兩個與和事件發生的機率相關的性質 性質四 A B和事件發生的機率 等於A B兩事件發生的機率的和 減A B積事件發生的機率 性質五 A B C和事件的機率 等於A B C三事件機率的和 減A B C兩兩同時發生的機率之和 再加上A B C同時發生的機率 性質四與五都可由集合的取捨原理推得 根據取捨原理 A B和事件即A聯集B的元素個數 等於A B兩事件元素個數的和 減去A B積事件即A交集B元素的個數 將上述的結果等號兩邊 同除以樣本空間S的元素個數 即可得A B和事件發生的機率 等於A B兩事件發生的機率的和 減A B積事件發生的機率 利用三個集合的取捨原理 A B C聯集的元素個數 等於A B C三集合元素的個數和 減A B C兩兩交集元素個數和 再加上A B C交集的元素個數 將上述的結果等號兩邊 同除以樣本空間S的元素個數 即可得A B C和事件的機率 等於A B C三事件的機率和 減A B C兩兩同時發生的機率之和 再加上A B C同時發生的機率 最後我們再整理一下上述的性質 機率的性質 設S為一試驗的樣本空間 A B C為三個事件且A'為A的補集 空事件的機率等於0 事件S的發生機率等於1 事件A的發生機率在0到1之間 事件A沒發生的機率 等於1減去事件A發生的機率 A B和事件發生的機率 等於A B兩事件發生的機率的和 減A B積事件發生的機率 A B C和事件的機率 等於A B C三事件的機率和 減A B C兩兩同時發生的機率之和 再加上A B C同時發生的機率 而當我們碰到A事件不發生的機率 比A事件發生的機率容易求出時 可以試著考慮用反面解 先求出A事件不發生的機率 再利用A事件的機率 等於1減A事件不發生的機率 來求出A事件發生的機率 一個盒子內有10個相同的零件 其中有4個是不良品 若從中任取3個 求最多只取到1個不良品的機率 至少取到1個不良品的機率 答案為 最多只取到1個不良品 表示我們要考慮取到0個不良品 及1個不良品的情況 從盒子內10個相同的零件任取3個 樣本空間S的樣本點個數等於C10取3 設A0為取到0個不良品的事件 即從6個良品中任取3個 則A0的樣本點個數等於C6取3 故A0事件發生的機率 等於A0的樣本點個數 除以S的樣本點個數 等於C6取3除以C10取3 等於6分之1 設A1為取到1個不良品的事件 即從4個不良品中取1個 再從6個良品中任取2個 A1的樣本點個數 等於C4取1乘以C6取2 故A1的發生機率 等於A1的樣本點個數 除以S的樣本點個數 等於C4取1乘以C6取2除以C10取3 等於2分之1 因為A0與A1不可能同時發生為互斥事件 故最多只取到1個不良品的機率為 A0與A1和事件的機率 等於A0事件發生的機率 加A1事件發生的機率 等於6分之1加2分之1 等於3分之2 至少取到1個不良品的機率 表示我們要考慮取到1個不良品 2個不良品以及3個不良品的情況 設A2為取到2個不良品的事件 即從4個不良品中任取2個 再從6個良品中取1個 A2的樣本點個數 等於C4取2乘以C6取1 故A2事件的發生機率 等於A2的樣本點個數 除以S的樣本點個數 等於C4取2乘以C6取1除以C10取3 等於10分之3 設A3為取到3個不良品的事件 即從4個不良品中任取3個 A3的樣本點個數等於C4取3 故A3的發生機率 等於A3的樣本點個數 除以S的樣本點個數 等於C4取3除以C10取3 等於30分之1 故至少取到1個不良品的機率為 A1 A2 A3的和事件的機率 等於A1發生的機率 加A2發生的機率 加A3發生的機率 等於2分之1加10分之3加30分之1 等於6分之5 另解 因為至少取得一個不良品的事件A 的反面A'為沒取得不良品的事件A0 而計算A0的機率要考慮的情形 比計算事件A機率來少得很多 當我們碰到計算A'的機率 比計算A的機率容易求出時 可以試著考慮用反面解 先求出A'發生的機率再利用性質三 A發生的機率等於1減A'發生的機率 來求出A發生的機率 例如第題 我們已求得取到0個不良品的機率 A0的機率等於6分之1 我們只要把所有情況扣除取到0個不良品 剩下的情況即為至少取到1個不良品的情況 故至少取到1個不良品的機率為 1減A0發生的機率等於6分之5 這樣會比原來的解法更快 提供同學做為參考 本單元介紹了機率的性質 經由這支影片 希望你已經了解機率性質的基本概念