上個單元中

我們介紹了機率的性質

接下來讓我們來觀察

在一些比較特殊的條件下

又可以推得那些性質呢

在之前的單元

我們介紹了互斥事件

讓我們複習一下它的定義

當兩事件A與B不會同時發生

即A交集B等於空集合時

我們稱A B為互斥事件

此時A交集B的機率等於空集合的機率

等於0

又因為機率的性質

A聯集B的機率等於

A的機率加B的機率

減A交集B的機率

可得A聯集B的機率等於

A的機率加B的機率減0

等於A的機率加B的機率

故當A B為互斥事件時

A B和事件的機率

等於事件A發生的機率

加事件B發生的機率

即A聯集B的機率等於

A發生的機率加B發生的機率

樣本空間中A B為互斥事件

A的機率為3分之1

B的機率為4分之1

求第一題A交集B的機率

第二題A聯集B的機率

答案

第一題由互斥事件的定義可知

A交集B的機率等於空集合的機率

等於0

第二題A聯集B的機率等於

A的機率加B的機率

減A交集B的機率

等於3分之1加4分之1減0

等於12分之7

同理由機率的性質可知

A聯集B聯集C的機率等於

A的機率加B的機率加C的機率

減A交集B的機率

減B交集C的機率

減C交集A的機率

加A交集B交集C的機率

若A B C為樣本空間中三個事件

且兩兩互斥

則A交集B的機率

等於B交集C的機率

等於C交集A的機率

等於A交集B交集C的機率

等於空集合的機率

等於0

可得A聯集B聯集C的機率等於

A的機率加B的機率加C的機率

設A B C為樣本空間中三個事件

且兩兩互斥

若A的機率等於3分之1

B的機率等於4分之1

C的機率等於5分之1

求A聯集B聯集C的機率

答案為

因為由互斥事件的機率性質可知

A聯集B聯集C的機率等於

A的機率加B的機率加C的機率

等於3分之1加4分之1加5分之1

等於60分之47

設事件A發生的機率為2分之1

事件B發生的機率為3分之1

求A聯集B的機率的範圍

由機率的性質可得

我們也可以從文氏圖來說明這一題

觀察樣本空間中的A B兩事件

A聯集B的機率最大值會發生在

A交集B區域最小的時候

而A聯集B的機率最小值會發生在

A交集B區域最大的時候

在本題的條件下

A交集B的機率的最小值為0

而A交集B的機率的最大值為

B的機率等於3分之1

即B為A的子集時

故A的機率小於等於A聯集B的機率

小於等於A的機率加B的機率

所以A聯集B的機率大於等於2分之1

小於等於6分之5

我們再來思考一下

A聯集B的機率為最大值時

那麼A B一定是互斥事件嗎

經由這支影片

希望你已經了解互斥事件的基本概念