當我們面對不確定的事件時

機率有助於我們評估風險且下決定

而下決定是否僅根據事件發生的機率就可以嗎

例如光憑機率

是否能說明買公益彩券

或是玩撲克牌之風險

這就是我們這個單元

期望值所要討論的話題

例如莊家巧巧與小歆玩抽樸克牌遊戲

兩人約定當小歆抽出點數J Q K A時

巧巧給小歆10元

抽出其它點數時

小歆給巧巧5元

小歆是否應該答應巧巧玩這個遊戲呢

接下來我們來看看下面這個例子

莊家巧巧與小歆玩抽樸克牌遊戲

兩人約定當小歆抽出點數J Q K A時

巧巧給小歆100元獎金

抽出其它點數時

小歆給巧巧50元

小歆是否應該答應巧巧玩這個遊戲呢

若我們將所有的牌都抽出來

小歆付給莊家50元

可以把它解讀成

小歆得到-50元的獎金

抽到J Q K A這四種牌都可以得到獎金100元

但是抽到其他牌則得到-50元獎金

而J Q K A這四種牌有16張

其他牌有36張

所以抽牌遊戲的平均價值是

52分之100乘以16

加上-50乘以36

等於52分之1600減1800

等於13分之-50

約等於-3.8462元

我們可以把上面的式子改寫成

100乘以52分之16

加-50乘以52分之36

從機率的觀點來說

52分之16

52分之36

分別代表抽中J Q K A牌

和抽中其他牌的機率

將抽中獎金100元 -50元

分別乘上相對應抽中的機率

算出來的總和就是此次抽牌遊戲的平均獎金

我們稱為數學期望值

簡稱期望值

因為期望值是負的

代表此抽牌遊戲對玩家小歆不利

對莊家巧巧有利

因為每抽一張牌

小歆平均就要付給莊家巧巧約3.8462元

平均獎金就直觀上來說

就是這兩類獎金的加權平均數

請大家特別注意

獎金期望值約為-3.8462元

這個結果並不是指玩一次遊戲

就一定會得約-3.8462元獎金

期望值通常代表大量結果的平均值

也就是說若遊戲重複多次

理論上獎金平均值約為-3.8462元

因此提醒同學們做決策前

不妨計算一下期望值喔

我們正式對期望值下個定義

設一個試驗的樣本空間為S

若S等於A 聯集A 一直聯集到A

且A A 一直到A 為兩兩互斥的事件

若事件A 發生的機率為p

i等於1 2一直到n

而且發生事件A 時可對應一個實數值m

則對應值的期望值為

E等於m 乘以p 加m 乘以p

一直加到m 乘以p

我們再來看一個情境問題

根據統計資料

每年房屋失火的機率為3萬分之1

某人將其房屋向產物保險公司投保

3千萬元的火災險

期間一年保費是1200元

求保險公司獲益的期望值是多少

因為參加火災險投保需先付保險公司一筆錢

也就是一年期保費1200元

接著會拿到一張火災險投保證明書

如果這一年內發生火災事故

投保人便可以拿到火災險理賠金3千萬元

但如果這一年內沒發生火災事故

這1200元便無償地歸保險公司擁有

保險公司獲益的期望值

等於收入的期望值減支出的期望值

期望值按照前述公式

我們分別計算收入的期望值

等於1200元乘以100%等於1200元

與支出的期望值等於3千萬

乘以3萬分之1等於1000元

保險公司獲益的期望值是

1200元減1000元等於200元

因為保險公司須付公司內部管銷費用

包括場地租金 合約製作費用

與底下多位精算師的成本

所以保險公司也必須要賺錢才能營運下去

平均每張保單從投保人中

獲益200元就是要支付這些費用的

保險公司不做虧本生意的

平均獲益期望值為200元

這個結果並不是指

收到某一投保人投保一次就一定會有200元獲益

期望值通常代表大量結果的平均值

也就是說若多人投保火災險

平均每張保單獲益的金額就會很接近200元