回顧前面的單元

我們提到當我們面對不確定的事件時

那些不確定事件的期望值計算

但是日常生活中

我們有時面臨的不確定事件的機率問題

是機率相等的

那我們應該如何計算它的期望值呢

讓我們來看看底下三個生活中的例子

合作社舉辦耶誕消費滿百抽抽樂活動

合作社準備了摸彩獎品共30份

不透明的箱子內共有30顆球

球上註明獎品名稱

獎品價格及數量如表列

獎品被抽到的機會均等

試問每份獎品的平均價值是多少

若我們將所有的球都抽出來

每份獎品的平均價值是

30分之500乘以10

加120乘以10

加40乘以10

等於220元

我們可以把上面的式子改寫成

500乘以30分之10

加120乘以30分之10

加40乘以30分之10

從機率的觀點來說

30分之10

分別代表抽中背包 小書包

和襪子三種獎品的機率

將抽中獎品的價值500 120 40元

分別乘上相對應抽中的機率

算出來的總和結果

就是此次活動得到獎品平均價值

也就是數學期望值

簡稱期望值

請大家特別注意

抽抽樂獎品期望值為220元

這個結果並不是指玩一次遊戲

就一定會獲得220元獎品

期望值通常代表大量結果的平均值

也就是說若遊戲重複多次

理論上獎品平均價值為220元

我們針對機率相等的期望值做個小結

設一個試驗的樣本空間為S

若S等於A 聯集A 一直聯集到A

並且A A 一直到A 為兩兩互斥的事件

若事件Ai發生的機率為pi

i等於1 2一直到n

其中p 等於p 等於p 一直等於n分之1

且發生事件Ai時可對應一個實數值mi

則對應值的期望值為E等於m 乘以p

加m 乘以p

一直加到m 乘以p

等於m 乘以n分之1

加m 乘以n分之1

一直加到m 乘以n分之1

甲乙丙三個人猜拳剪刀 石頭 布

每個人隨機出拳只猜一次

試問獲勝人數的期望值為多少人

因為每個人都有三種拳可以出

根據乘法原理

共有3乘以3乘以3等於27種可能的結果

獲勝人數可以分成無人獲勝不分勝負

1人獲勝及2人獲勝這三方面加以說明

無人獲勝也就是不分勝負的情形說明

可能三同

三個人都出剪刀

或三個人都出石頭

或三個人都出布3種

也可能三異

剪刀 石頭 布各1人

3乘以2乘以1等於6種

所以無人獲勝或是不分勝負共有9種

1人獲勝的情形說明

可能是刀布布

也可能布石石

也可能是石刀刀這三大類

每一類又都有三種可能結果

所以等於2階乘乘以1階乘分之3階乘

等於3

以布石石為例

等於 3種結果

因此全部共有9種1人獲勝的結果

2人獲勝的情形說明

可能是刀刀布

也可能是布布石

也可能是石石刀這三大類

每一類又都有三種可能結果

2階乘乘以1階乘分之3階乘

等於3

以布布石為例

等於 3種結果

因此全部共有9種2人獲勝的結果

我們將這27種可能的結果情形與機率表列出來

利用前述期望值的公式

平均獲勝的人數等於

0乘以3分之1

加1乘以3分之1

加2乘以3分之1

等於1人

因此獲勝人數的期望值為1人

獲勝人數期望值為1人這個結果

並不是指玩一次遊戲就一定會有1人獲勝

期望值通常代表大量結果的平均值

也就是說若遊戲重複多次玩下去

平均獲勝的人數就會很接近 1人