回顧前面的單元

我們曾提到

當我們面對生活中不確定的事件

且這些不確定的事件

其發生機率相等時

期望值的例子與計算方式

但是日常生活中

我們往往面臨的機率問題

應該是不完全相等

或甚至機率皆相異時

我們又應該如何計算期望值呢

我們來看看底下三個生活中的例子

甲乙兩個人

甲是莊家 乙是玩家

將3顆相同大小的白球

5顆相同大小的黑球

與2顆相同大小的紅球

都丟入一個不透明的箱子

乙參加抽球遊戲

需先付給甲35元

然後可以抽一顆球

若乙抽中白球可得獎金50元

抽中黑球則無獎金

但若抽中紅球可得獎金100元

試問乙參加此遊戲利潤的期望值為多少元

若我們將所有的球都抽出來

每顆球的平均獎金是

10分之50乘以3

加0乘以5

加100乘以2

等於35元

我們可以把式子改寫成

50乘以10分之3

加0乘以10分之5

加100乘以10分之2

從機率的觀點來說

10分之3 10分之5 10分之2

分別代表抽中白球 黑球和紅球的機率

三種球獎金的平均值

就是乙參加此遊戲獎金的期望值

但是因為玩家在玩遊戲前

需支付一筆錢35元

100%都要付

所以這個遊戲的利潤期望值為

平均獎金收入減平均支出費用

等於35減35等於0元

期望值為0的遊戲

代表它是一個公平的遊戲

遊戲獲勝的結果沒有偏向莊家與玩家任何一方

請大家特別注意

利潤期望值為0

這個結果並不是指玩一次遊戲

就一定會獲得0元利潤

期望值通常代表大量結果的平均值

也就是說

若遊戲重複多次

理論上利潤平均值為0元

我們針對機率不相等的期望值做個小結

設一個試驗的樣本空間為S

若S等於A 聯集A 一直聯集到A

且A A 一直到A 為兩兩互斥的事件

若事件Ai發生的機率為pi

i等於1 2一直到n

其中機率p p 一直到p 不全然相等

而且發生事件A 時可對應一個實數值m

則對應值的期望值為

E等於m 乘以p 加m 乘以p

一直加到m 乘以p

小潔投擲一顆不公正骰子

擲出的機率與點數成正比

若擲出點數k

可以得到獎金k平方元

試求小潔獲得獎金的期望值

我們假設擲出點數1點的機率為r

點數2點的機率為2r

點數3點的機率為3r

點數4點的機率為4r

點數5點的機率為5r

點數6點的機率為6r

其中r大於0

因為機率總和為1

所以r等於21分之1

我們將這六種可能的結果

點數 獎金與機率表列出來

從機率的觀點來說

這些21分之1

21分之2

21分之3

21分之4

21分之5

21分之6

分別代表擲到

1點 2點 3點 4點 5點 6點的機率

也就是得到獎金1平方元

2平方元

3平方元

4平方元

5平方元

6平方元的機率

利用前述期望值的公式

得到獎金的期望值等於21元

這個式子算出來的結果

就是此次擲骰子活動得到獎金的平均價值

也就是數學期望值

簡稱期望值

換言之期望值為報酬 獎品價值

以機率為權數的加權平均數

為了加強你的印象我們趁勝追擊

凡走過必留下痕跡

請大家務必動動腦想想看吧