經濟日報於2021年5月25日的報導指出

28年來台灣股市的年平均報酬率為百分之17.37

同學有想過

百分之17.37怎麼計算出來的嗎

其實日常生活中有許多常見的變化率

如投資報酬率

經濟成長率

通貨膨脹率等

是生活中常見的名詞

而求變化率的平均值

都與計算它們的幾何平均數有關

到底什麼是幾何平均數呢

接下來我們用個例子來說明

假設酷課雲公司去年的營業額比前年成長百分之50

而今年的營業額比去年衰退百分之50

記作-百分之50

同學們會不會認為應該用兩者的算術平均數

二分之一乘以括號百分之50加-百分之50等於0

來代表這兩年的平均成長率

並解讀成酷課雲公司兩年來的營業額持平呢

這樣的解讀是合理的嗎

事實上不是這樣的

如果我們假設前年的營業額為k元

則去年的營業額為

k乘以括號1加百分之50元

那麼今年的營業額為

k乘以括號1加百分之50

乘以括號1減百分之50

等於k乘以括號1減0.25

等於0.75k元

上面的數據顯示酷課雲公司兩年下來的營業額

只剩原來的百分之75

呈衰退現象並非持平

也就是說平均成長率不適合用算術平均數來表示

那麼該如何求真正的平均成長率呢

如果設過去兩年

酷課雲公司每年的平均成長率皆為r

那麼今年的營業額為

k乘以括號1加r乘以括號1加r

等於k乘以括號1加百分之50

乘以括號1減百分之50

消去k後就可以得到

括號1加r的平方

等於括號1加百分之50

乘以括號1減百分之50

也就是1加r等於根號括號1加百分之50

乘以括號1減百分之50

等於根號0.75

約等於0.866

因此我們可以得知

r等於0.866減1

等於-0.134

等於-百分之13.4

也就是說這兩年的營業額平均每年衰退百分之13.4

如果我們仿照上述的方法

當連續n年的成長率分別為r1 r2一直到rn

且假設平均年成長率為r時

就可以得到

整理以後可以得到

所以我們假設有n個正數x1 x2一直到xn

那麼我們將這n個數的幾何平均數定義為

接下來請同學準備計算機

嘗試練習下面的這道題目吧

一個國家的經濟成長現象是指

該國實質總產出或者每個人的平均實質國民所得

持續不斷增加的現象

通常所謂經濟成長率

economic growth rate是指

實質總產出或實質國民生產毛額GDP的年增率

因此國際間多以經濟成長率

作為表示一國經濟實力

人民福祉和國際地位的指標

現在已知臺灣從2013年至2016年來

經濟成長率分別為

百分之2.20

百分之4.02

百分之0.72

百分之1.48

那麼這四年臺灣的經濟年平均成長率是多少呢

試四捨五入計算至百分比的小數點後第一位

利用上述公式我們可以得到臺灣這四年的年平均成長率為

請同學拿出計算機

並且利用計算機依序按下

約等於0.02097

約等於百分之2.1

所以臺灣這四年的年平均成長率約為百分之2.1

最後整理一下今天學到的知識

同學都學會了嗎