從前面的單元課程中

我們知道可以利用平均數與中位數

來了解一組資料的集中程度

但是對於資料的特性

單靠平均數與中位數卻略嫌不足

百分位數雖然能提供一筆數據

更詳細的位置資訊

在資料稀疏的區域

百分位數能進一步的看出

這個區域的散布情形

但是在資料集中區

百分位數會擠在一起

反而看不出規則或現象

因此我們還需要其他方法

來分析數值分布的情形

這個單元將介紹四分位數的概念與意義

現在讓我們舉個例子來說

現有甲資料20筆

1 2 2 4 5 6 7 8 9 10 11

12 14 14 15 16 17 18 19 20

平均數是10.5

中位數是10.5

乙資料20筆

1 1 1 1 1 3 3 3 3 3

18 18 18 18 18 20 20 20 20 20

平均數是10.5

中位數是10.5

雖然以上這兩組資料的平均數與中位數皆相同

但仔細觀察

兩筆數值的差異卻非常大

此時我們可能需要其他方法

來分析數值分布的情形

在討論數值資料的分布情形時

也可以利用資料中的第25百分位數P25

第50百分位數P50

第75百分位數P75

這三個百分位數來協助我們對資料的了解

其中P25稱為第1四分位數

簡記為Q1

P50稱為第2四分位數

簡記為Q2

也就是中位數

P75稱為第3四分位數

簡記為Q3

因此我們可以仿照百分位數的計算方式

來計算四分位數

現在就讓我們來複習一下

百分位數的計算方式吧

假設有一組資料有n筆數據

其第m百分位數Pm的算法是

先將這n筆數據由小到大排序

並計算 n×m%

當n×m%不為整數

取大於n×m%的最小整數 I

則Pm為第 I 筆數據的值

當n×m%為整數

則Pm為第 I 筆數據

與第 I+1筆數據的平均值

現在讓我們舉一個例子

某國中的三年一班共有男生17人

該班男生的身高由小排到大如表所示

試求第1四分位數

第2四分位數

以及第3四分位數

解答

根據百分位數的計算方式

17×25％＝4.25 非整數

所以第1四分位數是由小排到大的第5筆資料

即160公分

17×50％＝8.5 非整數

所以中位數或者第2四分位數

是由小排到大的第9筆資料

即163公分

17×75％＝12.75 非整數

第3四分位數是由小排到大的第13筆資料

即170公分

事實上四分位數還有另外一個定義

將數據由小到大排序後

利用中位數將數據分成前後兩組

不要把中位數放入已分好的組別

將第1四分位數定為前面組別的中位數

而第3四分位數定為後面組別的中位數

舉個例子來說

有一筆資料為2 3 4 5 6

這筆資料的中位數是4

我們可以利用4將數據分成2 3與5 6兩組

根據上面的定義

第1四分位數即為2 3的中位數

也就是2.5

而第3四分位數為5 6的中位數

也就是5.5

最後整理一下今天學到的知識

從上述的課程中可知

雖然第1四分位數可以定義為

中位數前所有數據的中位數

而第3四分位數則定義為

中位數後所有數據的中位數

這種四分位數的計算

與前面由百分位數定義出來的

四分位數數值可能略為不同

但是從統計學計算大量數據的觀點來看

這兩種計算四分位數的方式

所計算出來的差距相差甚微

在實用上並不會影響

同學們都學會了嗎