大學入學考試的學科能力測驗 與分科能力測驗的考試中 都會出現頂標 前標 均標 後標 底標等名稱 並且作為篩選學生成績的依據 但是這些名稱代表什麼呢 各個數字又代表什麼含意呢 上面所述的名稱都與這個單元 將所要介紹的百分位數有關 當資料非常龐大時 我們除了可以用平均數 中位數與眾數來表示資料的特性以外 還可以使用其他不同的方法 來協助我們分析與了解資料的分佈情形 透過認識百分位數 我們就能夠多一種分析資料分布情形的工具 到底什麼是百分位數呢 我們先用個例子來說明 三年一班共20位男同學 上體育課時 老師要求每人投籃10次 若進球數由少到多分別為 0 1 1 1 1 2 2 2 3 3 4 4 4 4 5 5 5 6 6 8 試問投籃的中位數是多少球 從前面的課程可以得知 中位數就是最中間的數 偶數筆資料取排在正中間的兩個數平均 即第10與第11個數的平均3.5分 因此大於或等於中位數的占全部的 20分之10等於百分之50 小於或等於3.5的數也占全部的 20分之10等於百分之50 另外取三年二班共20位男同學的進球數 由少到多分別為 0 1 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 6 6 其中中位數是3 因此大於或等於中位數的數占全部的 20分之12等於百分之60 小於或等於3的數占全部的 20分之11等於百分之55 大家有發現嗎 進球數大於或等於中位數的有百分之60 進球數小於或等於中位數的有百分之55 這兩個百分比的和百分之115 超過百分之100是合理的嗎 其實是因為3被重複計算了 從上述可以得知 一組資料的中位數會滿足下列兩點 小於或等於中位數的資料 至少占全部資料的百分之50以上含百分之50 大於或等於中位數的資料 至少占全部資料的百分之50以上含百分之50 我們仿照中位數將一未分組資料由小排到大 分成100份 各份資料的個數大致一樣多 若數值A同時滿足下列兩點 小於或等於A的資料 至少占全部資料的百分之m以上 大於或等於A的資料 至少占全部資料的百分之100-m以上 則稱數值A是這組資料的第m百分位數 以Pm表示 其中m是正整數 且m大於等於1小於等於99 根據上述的說明 大家都知道百分位數的意義了 但是該如何計算第m百分位數 假設一組資料有n筆數據 其第m百分位數Pm的算法是 先將這n筆數據由小到大排序 並計算n乘以百分之m的值 當n乘以百分之m不為整數 取大於n乘以百分之m的最小整數I 則Pm為第I筆數據的值 當n乘以百分之m為整數I時 則Pm為第I筆數據與第I加1筆數據的平均值 最後讓我們回到一開始的例子吧 大學學測與分科測驗中所說的頂標 指的是第百分之88位置的分數 前標指的是第百分之75位置的分數 均標指的是第百分之50位置的分數 後標指的是第百分之25位置的分數 底標指的是第百分之12位置的分數 以數學科前標9級分為例 代表小於或等於9級分的人數 至少占全部考生人數的百分之75以上 而大於或等於9級分的人數 至少占全部考生人數的百分之25以上 透過這些資料 我們就可以了解所有考生的分布狀況了 這個也是各個大學篩選學生成績的依據 最後整理一下今天學到的知識 百分位數是一種相對的位量數 將一個次數分布排序後分為100個單位 百分位數就是次數分布中 相對於某個特定百分點的原始分數 它能夠用於描述一組數據 某一個百分位置的等級 如果結合多個百分位數 如上述的學測五標 就可以全面描述一組觀察值的分布特徵了 同學們都學會了嗎