小明拿到第二次的段考成績單後

其中數學成績為73分

和第一次的數學成績65分相比

我們能說小明的數學進步了嗎

單從分數來看

我們會認為小明的數學分數進步了

因為他的數學成績

考得比第一次的成績好

但是真的是這樣嗎

如果我們又得知

全班同學的第二次段考數學平均為68分

第一次段考的數學平均為60分

我們發現小明這兩次段考的分數

都比全班的平均高5分

這時候我們可以再說

小明的數學成績沒有進步嗎

這個單元所介紹數據標準化的概念

將能夠解決這個問題喔

當我們在比較分析兩組數據資料時

可能會遇到因為數據單位的不同

例如身高180公分與體重70公斤

或者數字大小的代表性不同

例如大學學測數學成績為13級分

與數學段考成績80分

而造成各自變化的程度不一

進而影響統計分析的結果

為解決此類的問題

我們可利用資料的標準化

來進行數據的比較及分析

什麼是標準化呢

我們該如何做標準化呢

若有一組n筆資料的數據X

等於x1 x2一直到xn

其平均數為μ

標準差為σ

則標準化就是

該數據減掉整組數據平均數後

再除以標準差所得到的新數據

也就是如果xi plam是數據xi

經過標準化後的新數據

則xi plam等於xi-μ/σ

xi plam經過標準化後的數值

我們有時候也稱為標準分數

而因為標準化的過程中

在標準化的公式裡

由於分子與分母是同單位的量

所以相除後單位就消失了

因此就消去了原數據的單位

所以標準化後的數據是沒有單位的

這個數據也看成是一種分數

我們稱為標準分數

從上面的定義可以得知

當該數據高於平均數時

標準化後為正數

當該數據低於平均數時

標準化後為負數

此外我們也可以這樣理解標準化

原數據xi與算術平均數相差了幾個標準差

亦即標準化後

我們可以看出原數據xi

在整組數據資料中的相對位置

無論數據的單位是什麼

經過標準化以後的數值

可以幫助了解此數據在全體資料的相對位置

現在我們回到一開始的例子

小明的數學第一次段考成績為65分

全班平均為60分

標準差為4分

第二次段考成績為73分

全班平均為68分

標準差為5分

將小明的第一次段考數學

與第二次段考數學的成績標準化

相對於全班

甲生在這兩次考試中

哪一次的數學表現比較好

將分數標準化如下

第一次數學段考成績

y1=65-60/4=1.25

表示該次成績較全班的平均

高出1.25個標準差

第二次數學段考成績

y2=73-68/5=1

表示該成績較全班的平均

高出1個標準差

相對於全班

小明在第一次段考數學的表現比較好

最後整理一下今天學到的知識

同學們都學會了嗎