在上個單元中

我們利用最小平方法

找出y對x的迴歸直線

但是當數據很多的時候

用這樣的方法求最適直線方程式

計算量就會相當的大

因此為了簡化計算

這個單元我們先求已經標準化過的兩組數據

X與Y的迴歸直線

首先我們先假設有三組標準化數據


其標準化數據Y'

對標準化數據X'的迴歸直線為L

y'=mx'+k

由於兩組數據X'與Y'是標準化數據

因此它們的平均數μ μ 均為0

標準差σ σ 均為1

並且得到下列結果

根據最小平方法

我們的目標是要求S的最小值

將S化簡

因為k平方大於等於0

所以S最小值一定發生在k等於0時

取k等於0得

再經由配方法可得

故知m等於r k等於0時

S有最小值

由此我們得到標準化數據

之迴歸直線方程式為

y'=rx'

其中r為X'與Y'

亦為X與Y的相關係數

得到未標準化的迴歸直線為

由上可知此迴歸直線通過

而且斜率為r乘以σ 分之σ

再將標準差σ σ 以及相關係數r的定義代入

可得斜率等於

因此我們也可以利用上述的方法推得

接下來讓我們看下面的這個例子

下表為酷課學園種植香蕉

每公頃使用肥料量X

與香蕉產量Y的關係

第一題試求y對x的最適直線方程式

第二題試由上題推測

若酷課學園每公頃施肥量為350公斤

則產量約為多少公斤

四捨五入取到整數位

解答第一題

首先我們先計算求得算術平均數

μ =340 μ =7250

接著根據迴歸直線公式

最後我們再將上面求得的結果

代入迴歸直線的公式

便可求得迴歸直線方程式為

y減7250等於11200分之24000

乘上括號x減340

化簡後可以得到

y減7250等於7分之15

乘上括號x減340

第二題將x等於350代入最適直線方程式

可以求得y約等於7271

因此當每公頃施肥量為350公斤時

可得產量約為7271公斤

最後讓我們整理一下

今天學到關於迴歸直線的知識

在這一小節中

我們介紹了最適直線

迴歸直線方程式的計算方式

當我們知道兩變量之間

可能有線性關係存在的時候

就可利用最適直線

來描述它們的關聯性

而當求得y對x的最適直線後

通常會使用此直線方程式作為模型

觀察在x變量改變的情形下

y變量的變化

以作為預測與決策的根據

同學們都學會了嗎