我們的校園中有許多樹木

台灣大學更有著遠近馳名的椰林大道

如果我們想要知道這些樹木有多高

我們能夠怎麼做呢

早在西元前六世紀

古希臘的泰利斯來到埃及

被要求測量出古夫金字塔的高度

在沒有任何先進設備的當時

你知道他是怎麼做的嗎

國中我們學過 30度 60度 90度的直角三角形

角的對邊邊長比固定是 1比根號3比2

不管這個三角形多大 多小

所以30度 60度 90度

和1比根號3比2是手牽手的好朋友

我們看到其中一位

就可以看到另一位

現實中不會每一次的角度都這麼完美

如果我們今天拿到了一個23度 67度 90度

或其他角度的直角三角形

我們可不可以推算出邊長的比例關係呢

答案是雖然我們可能還不知道它的邊長

但是拜國中學的AA相似所賜

只要角度拿到邊長比就一定會固定

因此我們有角度就有邊長比

有邊長比就有角度

既然角度和邊長比已經連結起來

我們接下來就幫這個連結取一個正式的名字

首先來看ABC這個直角三角形

C是直角

那麼給定 角A或角B 任一角度就能找到邊長比

現在假設主角是角A

角A旁邊的這個底邊叫做角A的鄰邊

角A對面的這個邊叫做角A的對邊

而剩下這個邊就叫做斜邊

由於比的表示方式不容易運算

也不容易比較

於是我們改用比值來表示這樣的對應關係

這三個邊當中我們任選兩個邊

都可以求出一組邊長比值

例如拿斜邊和對邊算出斜邊分之對邊

這個數字就叫做角A的正弦sine

記做sin A

斜邊分之鄰邊叫做角A的餘弦cosine

記做cos A

鄰邊分之對邊叫做角A的正切tangent

記做tan A

用我們熟悉的30度 60度 90度當例子

斜邊長度是2

角A的鄰邊是根號3

角A的對邊是1

感謝相似形的功勞

只要角度角A固定下來

這些比值就不會變動了

所以角A的正弦 sin A等於2分之1

餘弦 cos A等於2分之根號3

正切tan A等於根號3分之1

三個三角比便給了我們直角三角形的內角角度

以及它的邊長比值的連結

我們可以藉由角度來找出邊長的比值

也可以從邊長比值得知角度

我們給了一個銳角A三個三角比

這三個三角比之間有沒有關係呢

它們都出自同一個三角形

所以當然有一腿囉

如果我已經告訴你某個銳角θ的正弦

sinθ等於13分之5

要怎麼找出cosθ 和tanθ 呢

首先我們的三角比都是藉助直角三角形得到的

所以我們要先畫一個內角為 θ直角三角形

sinθ等於13分之5的意思是

斜邊分之對邊是13分之5

為了方便我們就設斜邊是13

對邊是5吧

為了找出其他兩個三角比我們還需要鄰邊

要怎麼找出鄰邊呢

國中學的畢氏定理就派上用場啦

這個鄰邊的長度就是

根號13的平方減5平方

等於根號169減25 等於根號144

等於12

這樣我們就能得到答案了

cosθ 是斜邊分之鄰邊

cosθ等於13分之12

tanθ是鄰邊分之對邊

tanθ等於12分之5

所以我們可以說

知道一個就得到兩個三角比

也就是我們能知一得二喔

前面我們在給定邊長之後

求出了角度對應的三角比

反過來如果給定三角比

我們也能回推出邊長的資訊

先看一個簡單的例子

同樣在這個直角三角形中

如果知道 BC等於12

那麼只要我們知道角A的大小

我們就能得到其他的邊長了

舉例來說

如果角A是30度

那它就是我們熟悉的30度 60度 90度的三角形

此時 AC等於12根號3

BC等於12

如果今天運氣不好

角A是20度怎麼辦呢

那麼如果我們能知道20度的三角比問題就解決了

很幸運的我們生在科技的時代

拿起你的計算機它就會告訴你答案

我們只要在計算機按下sin20

它就會告訴我們sin20度是多少了

sin20度約等於0.34

所以斜邊分之12約為0.34

這樣就知道斜邊大約是0.34分之12

約等於35.29

這時候如果還想算出鄰邊長

可以用cos

用計算機得到cos20度約等於0.94

所以斜邊分之鄰邊大約是0.94

得到鄰邊約等於35.29乘以0.94

約等於33.17

接著要邀請大家來想想看

今天我們了解直角三角形內角的角度

和直角三角形的邊長比值

有了這個對應

除了30度 60度 90度的特殊角度的三角形之外

我們之後就可以解決各種三角形邊角關係的問題了

最後來複習三角比的定義

不過由於直角三角形裡面只有銳角

所以我們今天只談了銳角的三角比

如果我們遇到超過90度的角

也就是鈍角

是不是也有三角比呢

敬請期待廣義角的課程囉