在上一節我們已經學到 給定直角三角形的內角 我們就可以算出它的三組邊長比值 稱為三角比 這邊很快地幫同學複習一下 直角三角形ABC當中 C是直角 對角A來說三角形的三邊分別是 角A的對邊 角A的鄰邊和斜邊 那麼sin A就是斜邊分之對邊 cos A就是斜邊分之鄰邊 tan A就是鄰邊分之對邊 我們也知道因為這三位出自於同一個三角形 所以我們可以知一得二 這次我們就再更仔細的看看它們還有什麼奧秘吧 首先我們先看看最簡單的情形 如果這個角A是30度 那麼這就是一個 30度 60度 90度的直角三角形 在上一次的課程我們已經算過這一個例子了 你還記得嗎 試著填填看空格吧 sin 30度等於多少 cos 30度等於多少 tan 30度等於多少 那麼如果現在我們把主角換成它的好朋友60度呢 這些邊長我們也還是知道只是換位置了 聰明的你能不能再幫60度也找到它的三角比呢 sin 60度等於多少 cos 60度等於多少 tan 60度等於多少 除了 30度 60度 90度 不知道你還記不記得 國中我們還學過另一種直角三角形 那就是角度45度 45度 90度的 等腰直角三角形啦 你還記得等腰直角三角形的邊長比嗎 讓我們簡單複習一下 因為兩個角一樣大 所以這兩邊一樣長是1比1 然後畢氏定理告訴我們斜邊就是 根號1平方加1平方 等於根號2 所以它的邊長比是1比1比根號2 那麼你能不能找出45度的三角比呀 sin 45度等於多少 cos 45度等於多少 tan 45度等於多少呢 上面的三個問題大家都答對了嗎 如果還不熟悉sine cosine tangent的意義 可以回上一個單元觀看影片 並找老師或同學討論喔 像這種30度 45度 60度的角 我們看到會特別開心 因為我們對這些角度對應的直角三角形非常了解 我們把這三個角叫做特殊角 其他不特殊的角 我們比較不容易找到邊長比 這時候就交給計算機準沒錯啦 接下來我們就要再仔細端詳這三組三角比 找出它們之間糾纏不清的關係 國中時我們學過 如果兩個角度相加等於90度 就稱它們互為餘角 就像上面的30度和60度一樣 那麼餘角的三角比有什麼關係呢 同學從上面30度 60度的例子有看出來嗎 沒錯 它們的sin和cos會交換 而tan會變倒數 一般來說如果有兩個互餘的角 α β 它們相加為90度 它們就是同一個直角三角形的兩個銳角 那麼因為 α 的鄰邊就是 β 的對邊 α 的對邊就是 β 的鄰邊 所以cos α 等於sin β 至於tan兩個式子的分子分母會顛倒 所以當然就是變成倒數啦 這幾組關係我們稱為餘角關係 接下來我們要講商數關係 商數關係告訴我們的是 同一個角度 α 的三角比一定滿足 cos α 分之sin α等於tan α 原因也很直接 直接將定義代進去 sin α就是斜邊分之對邊 cos α就是斜邊分之鄰邊 代入左邊的式子 這時左邊的分子分母底下都有斜邊 於是我們可以分子分母同乘以斜邊 將它約去 它就變成鄰邊分之對邊 恰好就是 tan α 所以我們就證明了cos α 分之sin α等於tan α 最後我們來看sin和cos還有什麼關係 我們知道sin是斜邊分之對邊 cos是斜邊分之鄰邊 因為這是一個直角三角形 畢氏定理告訴我們 斜邊平方等於兩股平方和 也就是斜邊平方等於對邊平方加鄰邊平方 這時我們把兩邊同除以斜邊平方 就得到 1等於括號斜邊分之對邊的平方 加括號斜邊分之鄰邊的平方 右邊括號裡的東西看起來很眼熟呢 它不就是我們的sin和cos嗎 所以我們就得到 1等於sin α的平方加cos α的平方 也就是說sin平方加上cos平方永遠都是1喔 另外我們希望符號和式子可以寫得簡潔一點 由於後面很常用到三角比的次方 所以我們就把次方寫到裡面來 這條式子 1等於sin平方α加cos平方α 就稱為平方關係 這些關係又再次驗證了我們之前說的 它們來自同一個直角三角形 它們之間一定有各種連結 有了平方關係和商數關係之後 我們就有另一種方法來知一得二 例如 如果銳角 α滿足sin α等於5分之3 那麼要如何求出 cos α和 tan α呢 我們可以先用平方關係 sin平方α加cos平方α等於1 所以cos平方α等於1減sin平方α 等於1減5分之3的平方 等於25分之16 兩邊開方就得到 cos α等於5分之4 接著再使用商數關係 就能得到 tan α等於cos α 分之 sin α 等於5分之4分之5分之3 等於4分之3 我們今天學習了三種特殊角的三角比 還有三種三角比的關係 這些未來都會很常用到 同學要多多體會並熟練它們 同學現在已經充分認識了 sin cos tan這三組記號 以前你可能覺得它們很不親民 現在你知道這只是把比例 比值 寫得比較文言一點而已 為什麼要這樣做呢 這是因為這些比值實在太常用了 我們之後會把它們用在解決 三角形邊角關係的各種問題當中 之後人們甚至發現這些從三角形而來的定義 還可以應用到各種代數問題 物理問題上面 因此各位同學以後看到這些符號 不要再被嚇到了 我們已經看穿它們的真面目囉