遇見了你之後

我的人生有了720度的大轉變

所以是根本沒有變囉

男孩的說法出了什麼問題呢

一圈是360度

所以轉了720度之後就回到起點了嘛

複雜的機械中常用到旋轉的齒輪

齒輪轉了360度 720度還繼續轉

從這些情境發現

我們國中學習的角似乎不太夠用了

還記得國中時

將角定義成兩條擁有共同端點的射線所成的圖形

因此我們只會遇到介於0度到180度之間的角

接下來將介紹另一種描述角的方式

稱作 廣義角

採用這種方式描述時

角度將不限於0到180度這個範圍

我們也可以處理更多的問題

廣義角的概念

是用旋轉量為出發點誕生的

設想老師叫我們舉起右手

原地逆時針360度

我們的右手會回到原本的位置

如果原地逆時針270度呢

右手就只會走完四分之三圈

停在另一個位置

不過如果是原地順時針270度

因為轉的方向不一樣

最後也會停在不同的位置

廣義角就是先選定一條射線

作為開始旋轉的位置

確認往哪個方向轉幾度之後

繞著O旋轉

將這條射線旋轉對應的度數

最後會停在射線OB

旋轉過程掃過的這個範圍

就形成一個角AOB

射線OA是這個角的始邊

射線OB則是這個角的終邊

而要描述這個角有多大

我們一樣用多少度來描述

但這一次只講多少度還不夠

就像前面的例子

這兩次旋轉都是270度

但是方向不同角就不一樣

所以數學上我們把逆時針旋轉的角

定義成正角

順時針旋轉的角定義成負角

剛剛的例子中這個角就是正270度

另一個則是-270度

正號會省略不寫

因此在廣義角的世界裡

不只有角的大小

還要考慮角的方向

比方正三角形ABC

如果從AB逆時針旋轉60度到AC

這個角是60度

但如果從 AC 順時針旋轉60度到AB

這個角就會變成-60度

有了廣義角的概念

我們也可以表示出400度

就是逆時針轉了一圈360度之後

再繼續同方向多轉40度

這整個旋轉給出的角度就是400度

接下來練習下面的題目

剛剛發現雖然轉的過程不同

但如果角度旋轉後停在一樣的位置

我們其實無法分辨這兩個角的差別

比方60度 420度 和 -300度

我們稱這些始邊重合終邊也重合

角度相差360度的整數倍的角為同界角

例如 從30度出發

逆時針旋轉一圈是390度

再逆時針旋轉一圈是750度

或是一開始順時針旋轉一圈是-330度

再順時針轉一圈得到-690度

依此類推

這些角都互為同界角

再來如果我們想比較不同角度的大小

該怎麼做呢

只要每個角有統一的始邊

就更容易進行運算跟比較了

所以我們將廣義角放在坐標平面上

使角的頂點與原點重合

角的始邊在 x 軸正向上

並稱這樣的角為標準位置角

例如 90度的終邊就剛好在y軸正向上

-180度的終邊則在-x軸上

還記得什麼是象限嗎

坐標平面被x軸和y軸分出的四個區域

我們稱作它們為四個象限

從右上開始

逆時針依序是第一 二 三 四象限

我們可以用角的終邊的位置

來描述一個角在第幾象限

比方說下面這個標準位置角的終邊在第一象限

我們就稱它為第一象限角

依此類推

可以找到第二象限角

第三象限角和第四象限角

那麼要如何決定角在第幾象限呢

舉例來說 銳角是介在0到90度之間

所以銳角都是第一象限角

所以30度角是第一象限角

另外我們前面所說的同界角也符合這個

例如30度再多轉360度變成390度角

他依然是第一象限角

我們也可以反方向轉

角度就會減少360度

因此-330度角也是第一象限角

換句話說第一象限角

不僅包括0度到90度之間的角

也包含它們的同界角

同理我們以前所學的鈍角

介於90度和180度之間

它是第二象限角

它們的同界角

也都是第二象限角

類似地第三象限角

就是180度到270度這個範圍的角

以及它們的同界角

第四象限角

就是270度到360度這個範圍的角

以及它們的同界角

細心的同學或許會發現

有些角似乎不屬於任何一個象限

沒錯 像是90度 180度

這種終邊在x軸或y軸上的角

則稱為象限角

今天我們認識了廣義角

我們之前只定義了銳角的三角比

但實際上我們會遇到的問題不會只有銳角

所以我們今天介紹了廣義角

接下來的任務

就是要為廣義角也定義一套三角比

讓三角比變得更加有力