上一堂課學習了廣義角三角比 廣義角三角比的求法 是先在標準位置角θ的終邊上任意選取一個點P 假設P的座標是 到原點的距離是 r 那麼 這時候 我們在某些角度發現一些現象 例如 如果我們試著看看60度 −60度和120度的三角比 這些角度以及它們的三角比有什麼關係呢 在它們的終邊上 我們可以將P點分別選取成 這樣一來 計算三角比時 三者的 r 都是2 而 x 和 y 可能相同 或是只差負號 所以 我們代入三角比的定義 就會發現它們的三角比有些相同 有些也只差負號 這一堂課 我們就要來找出這些常用的三角比的關係 今天會用到的知識有 2-9-4 廣義角的三角比 高一上 座標平面的對稱性 我們第一個要介紹的是 負角關係 也就是θ和−θ的三角比的關係 考慮一個角度是θ的標準位置角 並且我們選好終邊上的一點 設它到原點的距離為r 這樣我們可以先算好θ的三角比 那麼−θ就是往另一個方向轉的角 可以看到 它的終邊 和原本θ的終邊對稱於 x 軸 這時候我們可以對應的在終邊上取到一個點 這個點到原點的距離也是r 因此我們就可以計算−θ的三角比 把前面兩個結果對照一下 就得知 這樣一來 我們就可以將負的角度的三角比換成正的角度來處理 我們有 在幾何中 我們常常會遇到跟補角有關的問題 因此接下來我們就來看看θ和180度減θ的三角比關係 和上面一樣 我們首先畫一個角度為θ的標準位置角 選定終邊上一點 並假設它到原點的距離為r 寫出它的三角比 那麼 在θ左邊 我們就有θ的補角 角度為180度減θ 但為了計算三角比 我們要使用標準位置角 因此我們仍然以正 x 軸為始邊開始旋轉180度減θ 可以看到 180度減θ的終邊就和原本θ的終邊對稱於 y 軸 因此我們可以選取終邊上一點為 由此 我們就得到了180度減θ的三角比 於是我們也找到了180度減θ和θ的三角比關係 有了這個關係 三角形中常出現的鈍角就也可以換回銳角處理了 我們這次以120度當例子 計算120度的三角比 120度是60度的補角 所以 也就是θ和90度減θ這常出現在直角三角形中 我們在銳角三角比的關係中 就有介紹過了餘角關係 同學還記得嗎 這邊來考考大家 銳角θ的餘角關係 各為多少 答案為 現在我們將三角比推廣至廣義角了 那這樣餘角關係還會成立嗎 我們來檢驗看看 同樣先畫角度為θ的標準位置角 選定點 寫出它的三角比 那麼可以看到 圖中這個角就是90度減θ 因此 以 x 軸正向為始邊旋轉 可以得到角度為90度減θ的標準位置角 這兩條終邊有什麼關聯呢 由於它們分別和 x 軸 y 軸夾θ角 所以其實他們會對稱於 y 等於 x 這條直線 高一上學期時 我們學過 點座標為的點 對於直線 y 等於 x 的對稱點 就是將兩個座標交換 變成 因此90度減θ的終邊上有一點為 這樣我們就得到90度減θ的三角比 對照原本θ的三角比 就得到 它和我們之前所學的 銳角三角比的餘角關係是相同的 不過這一次 θ不只可以是銳角 而可以是任何廣義角 第一次學的同學 可能會覺得公式有點多 很容易搞混 比方說 國中學的畢氏定理只在直角三角形中能使用 未來我們將介紹一個關係式 餘弦定理 來將畢氏定理推廣到任意三角形中 除此之外