我們已經花了許多時間探討三角比

現在該是時候將三角比應用到實際的問題上了

首先我們來討論平面上最常出現的圖形

直線

高一上學期時

我們學過直線的斜率

它們是用來描述直線有多傾斜的數值

同學還記得斜率怎麼計算嗎

這邊再幫同學複習一次

斜率的意思是

每當x坐標增加了1單位

它的y坐標的變化量

因此如果斜率是正數

代表往右走的時候這條路是上坡

並且斜率越大

這個斜坡就越陡

反過來如果斜率是負數

代表往右走的時候這條路是下坡

並且斜率負的越多

這個斜坡就越陡

那麼同學還記得怎麼從直線方程式看出斜率嗎

這邊來考考同學如果忘記了

請馬上去複習一下斜率的影片喔

答案為2 -5分之3

斜率給了我們一個衡量傾斜程度的指標

不過我們在生活中

更常聽到的一種說法

這個山坡的坡度 坡角是30度

這裡的坡度 坡角又是什麼意思呢

其實不難理解

它的意思是和水平線的夾角

如果畫在坐標平面上

就是指和x軸正向的夾角

我們將它稱呼為斜角

就如同斜率有正負

分別代表走上坡和走下坡

斜角也有正負

我們規定上坡的斜角為正

下坡則斜角為負

既然斜率和斜角都是傾斜度的指標

它們之間要怎麼換算呢

我們回想計算斜率時所做的事情

將x坐標增加1單位看y坐標的變化Δy

這裡就形成了一個直角三角形

而底邊的1正是斜角θ的鄰邊

y坐標的變化Δy就是θ的對邊

所以按照三角比的定義

斜率1分之Δy

等於θ的鄰邊分之θ的對邊

等於tan θ

所以對於負角這也仍然適用

因為這時Δy是負的

正好對應到第四象限角的三角比

因此我們得到結論

斜率等於tan θ

舉例來說

斜角為45度的直線

它的斜率是tan45度等於1

我們常見的y等於x就是一個例子

而斜角為-45度的直線斜率

是tan-45度等於-1

常見的例子有y等於-x

答案為根號3 -根號3

假如我們知道斜角θ

那麼直接計算tan θ就可以得到斜率

但是如果反過來

我們知道斜率

要怎麼找出斜角呢

剛剛我們看到斜率是1的直線

它的斜角是45度

不過這是因為我們剛好知道tan45度是1

如果換個數字 例如斜率為2分之1

我們似乎不知道哪個角度的tan是2分之1

事實上要找到這個角度並不容易

所以我們要請出計算機來幫忙

找出這個角度的近似值

計算機上有一個arctangent的按鈕

它的功能是找出哪個角度的tan是我要的數字

在我們的例子中我們要找到

使得tan θ等於2分之1的角度θ

在計算機上的按法是按2分之1 arctangent

這個時候計算機會告訴我們

arctangent 2分之1約等於26.565

因此斜率2分之1的直線

其斜角大約是26.6度

答案為4.76度