上一部影片我們定義了直線的斜角

它的意思是直線和x軸正向的夾角

如果斜角是θ

那麼tanθ就是該直線的斜率

斜率和斜角

都可以用來衡量直線的傾斜程度

是一個很實用的量

同學還記得斜角要怎麼求嗎

我們用這個題目快速複習一下吧

如果忘記了請先回去複習前一部影片喔

做為一個斜角的應用

我們這一部影片要談的是

兩條直線的夾角

國中時我們就已經學過

兩條直線會形成四個夾角

而圖中的兩組夾角α和β會分別相等

這是因為對頂角相等

我們也知道α和β互為補角

所以求出其中一個夾角後

就也得到另一個夾角了

因此我們只要將目光放在其中一個角就好了

給定平面上兩條直線L1 L2

假設它們的斜角分別是θ1 θ2

此時我們將x軸畫出來

就能標示出它們的斜角

我們這次的目標是要找出L1 L2的夾角θ

要怎麼從θ1 θ2找出θ呢

這裡要回顧國中學的外角性質

我們看圖中的這個三角形

我們看到θ1是這個三角形的一個外角

因此它的度數等於另外兩個內角之和

也就是θ1等於θ2加θ

這樣我們就知道

兩直線的其中一個夾角θ

就等於這兩條直線的斜角相減

我們來看一個例子

考慮兩條直線L1等於2x加y等於1

L2等於3x減4y等於2

這兩條直線的夾角是多少呢

要使用上面的推理來找出夾角

首先要把兩條直線的斜角找出來

用上一部影片學的方法

我們先找出斜率就可以換成斜角

L1的斜率是-2

因此它的斜角是arctangent -2

L2的斜率是4分之3

同理它的斜角是arctangent 4分之3

因此我們利用計算機

可以得到這兩個斜角的差約為

arctangent 4分之3減arctangent -2

約等於100.30度

因此這兩條直線的夾角大約是100.30度

而180度減100.30度等於79.70度

所以這兩條直線的另一個夾角大約是79.7度

我們再舉另一個例子

假設有一個三角形

它的三個邊分別落在三條直線

L1 3x加y等於0

L2 x加y等於0

L3 x減3y等於-5 上

我們想要知道這個三角形的三個內角是多少

首先我們來算L1和L2的夾角

也就是這個三角形右下角的內角

利用前面所學這兩條直線的斜率分別是-3和-1

所以斜角分別是arctangent -3

arctangent -1

我們拿大的減去小的

利用計算機算出

arctangent -1減arctangent -3

約等於26.57度

所以L1 L2的夾角是26.57度

以及180度減26.57度等於153.43度

而從圖中得知我們要的是銳角

所以這個內角是26.57度

接著我們來求L1 L3的夾角

這兩條直線的斜率分別是-3和3分之1

同樣可以用計算機求出夾角

arctangent 3分之1減arctangent -3

等於90度

哇 這次的數字很漂亮是直角

這其實很容易看得出來

因為我們曾經學過

兩條垂直的直線

斜率相乘是-1

我們這邊遇到的L1 L3的斜率正好相乘就是-1

所以它們垂直也就是夾角是90度

如果你記得這件事情

那根本不需要計算喔

而最後一個內角

我們也不用再慢慢算了

因為我們知道三角形的內角和是180度

因此最後一個內角的度數就是

180度減90度減26.57度等於63.43度

這樣我們就得到了三角形的三個內角