今天我們要來看三角比的另一個應用 我們從小使用的坐標系 多半是直角坐標 給定圓點和兩軸之後 用橫坐標 縱坐標來記錄一個點的位置 但在日常生活中 我們有另一種方式來描述一個位置 例如在氣象臺會聽到以下的解說 颱風目前在屏東的東偏南30度 距離約200公里 用這種方式 我們也能清楚知道颱風到底在哪裡 這個描述方法中 我們需要一個基準點 也就是屏東 並且說明方向和距離 有這些要素我們就能描述一個點的位置了 這就是我們今天要介紹極坐標的概念 極坐標就是用方向和距離 來描述一個點的位置 首先我們先選定一個基準點O 將它稱爲極點 假設平面上有另一點A 我們試著用方向和距離來描述A的位置 我們首先測量它和極點O的距離 將它和極點O連線 這時OA的長度就是A到極點的距離 我們將這距離記爲r 接下來我們還要描述方向 生活中我們有東西南北的概念 但在數學上 假如我們每次都要先看一下指北針找出方向 實在麻煩了點 爲此我們改用以下的方法來說明方向 從極點出發 畫一條射線稱爲極軸 我們將射線OA和極軸所夾的有向角記爲θ 那麼θ就能幫我們確定A的方向 同學可以想像 假設極軸指向正東方 那麼正北方就是θ等於90度的方向 西偏北45度就是θ等於135度的方向 東偏南30度就是θ等於-30度的方向 這樣一來r和θ就能描述點A的方向了 我們用來記錄這個資訊 這稱爲A點的極坐標 例如 就是距離極點2單位 從極軸逆時針旋轉90度 試選出圖中p點的極坐標 答案爲 圖中有一個點極坐標是 請問是哪一個點呢 答案爲B 現在我們有兩種方式描述點的位置 第一種是直角坐標 第二種是極坐標 那麼這兩種方式之間有沒有關係呢 在一個直角坐標平面上 我們選擇圓點O作爲極點 x軸正向作爲極軸 任取平面上的一點A 設它的直角座標是 而極坐標是r θ 看到這些記號你有沒有想到什麼呢 還記得廣義角θ的三角比定義嗎 我們之前學過θ的三個三角比 sinθ等於r分之y cosθ等於r分之x tenθ等於x分之y 仔細看著前兩條式子 移項得到 x等於r乘以cosθ y等於rsinθ 這兩條式子就告訴我們要怎麼做極坐標 和直角坐標之間的轉換了 如果A點的極坐標是 它的直角坐標就是 例如如果A的極座標是 根據我們得到的式子可以得到 x等於rcosθ 等於2乘以cos30度 等於2乘以2分之根號3 等於根號3 y等於rsinθ 等於2乘以sin30度 等於2乘以2分之1 等於1 所以A的直角坐標就是 如果p點的極坐標是 請問它的直角坐標是多少 答案爲 反過來如果給定A的直角坐標是 要怎麼將它轉換成極坐標呢 同樣觀察這張圖 我們希望求出圖中的r和θ r是A與原點O的距離 因此用國中學過的距離公式 我們知道r等於根號x平方加y平方 接著我們前面提到過 根據廣義角三角比的定義 tanθ等於x分之y 所以我們需要找出哪一個θ的tan是x分之y 我們在上兩部影片中談到的 直線的斜角中使用過相同的工具 那就是計算機的arctangent按鍵 透過在計算機輸入arctangent x分之y 就能夠找到θ了 例如假設點a的直角坐標是 那麼按照上面的推理 r等於根號3平方加4平方等於5 θ等於arctangent 3分之4 約等於53.13度 因此A的極坐標是 不過這裡有一個很重要的細節要提醒同學 計算機的arctangent按鍵 會自動預設我們的角度θ 是在-90度至90度這個範圍 也就是坐標平面上的第一和第四象限 因此如果所求的點是在第二象限或第三象限 這樣求出來的θ還不是正確答案 那麼要如何修正成正確答案呢 例如如果點c的直角坐標是一二 那我們知道它位於第二象限 它與原點的距離r不成問題 r等於根號1的平方加2的平方等於根號5 接著如果我們在計算機中輸入arctangent -1分之2 也就是arctangent -2 會發現計算機給我們的答案大約是-63.43 這並不是一個第二象限角 因此C的θ並不是-63.43度 那麼計算機給出的答案是什麼呢 原來在第四象限 也有一個點的θ會滿足tenθ等於-2 它就是這個點 計算機給出了這個答案-63.43 正是D的角度 而不是我們要找的C 不過這個問題很容易解決 因爲C和D恰好x和y坐標都差負號 所以它們會對稱於原點 因此C的角度就是-63.43度再加上180度 也就是說C的θ等於-63.43度加180 等於116.57度 因此如果所求的點在第一或第四象限 那麼直接使用計算機求arctangent X分之y 就能得到θ 但是如果是在第二象限或第三象限 那麼必須將計算機的答案加上180度才得到θ 如果點p的直角坐標是 那麼它的極坐標是多少 答案爲 或或是其他同界角都可以 今天我們學習了極坐標 它使用距離r和角度θ描述平面上一個點的位置 就如同我們常用的方位一樣 至此我們已經看到了三角比的兩個直接的應用 第一個是斜角 第二個是極坐標 未來我們還會將更多幾何上的概念 用三角比輔助創造出更多方便的工具 同學一定要好好記住三角比的定義和意義喔