我們都知道三角形的面積是二分之一底乘以高

實際在測量一塊三角形的土地時

可能會遇到土地內有障礙物

不是那麼容易測量任一邊的高

我們可以在土地三角形ABC的周圍進行測量

量出三角形ABC的兩邊AC AB的長度

得知AC線段長 AB線段長 角A的度數

可算出三角形ABC的面積嗎

接下來我們先討論用內角的三角比

與一邊的長度來表示三角形的高

在三角形ABC中

設CH為AB上的高

令AC等於b

我們想用b與角A的三角比來表示CH的長度

下面分成角A是銳角 直角與鈍角三種情形來討論

第一種情形當角A為銳角

考慮直角三角形ACH

因為sinA等於AC分之CH

故CH等於ACsinA等於bsinA

第二種情形當角A為直角

在直角三角形ABC中

此時H點即為A點

因此直角三角形HBC就是直角三角形ABC

此時CH等於CA等於bsin90度等於bsinA

故CH等於bsinA仍然成立

第三種情形當角A為鈍角時

考慮直角三角形ACH

因為角CAH等於180度減角A

所以sin括號180度減A等於AC分之CH

因此CH等於ACsin180減A等於bsinA

故CH等於 bsinA仍然成立

我們已經推導了AB邊上的高CH等於bsinA

不管角A是銳角 直角或鈍角都是對的

根據這個結果

我們可以求三角形ABC的面積

令AB等於c BC等於a AC等於b

因為三角形ABC的面積等於二分之一底乘以高

即三角形ABC面積等於

二分之一乘以AB乘以CH

等於二分之一乘以c乘以bsinA

等於二分之一bcsinA

根據前面的討論

當我們知道三角形ABC中一個內角角度

與其兩夾邊的長度

三角形ABC的面積就等於

二分之一內角正弦值

乘以兩夾邊長的乘積

同理我們可以推得

三角形ABC的面積等於

二分之一乘以b乘以c乘以sinA

等於二分之一乘以c乘以a乘以sinB

等於二分之一乘以a乘以b乘以sinC

試探討a比b比c

答案為