觀察右圖的直角三角形ABC

角A等於90度

且sinB等於a分之b

sinC等於a分之c

sin90度等於1

各邊長的比 a比b比c

等於1比a分之b比a分之C

等於sinA比sinB比sinC

即直角三角形三邊長與其對角正弦值成正比

這個結論適用於任何的直角三角形

對於一般非直角三角形上述結論是否也成立呢

在三角形ABC中

以a b c表示角A 角B 角C之對邊長度

前部影片我們已經證明了

不管三角形ABC是直角 銳角或鈍角三角形

三角形ABC面積

等於二分之一absinC

等於二分之一bcsinA

等於二分之一casinB

上述等式中各項同除以abc

可得 c分之sinC

等於b分之sinB

等於a分之sinA

我們可以改寫成

sinA分之a

等於sinB分之b

等於sinC分之c

因此關係式

sinA分之a

等於sinB分之b

等於sinC分之c

對於一般三角形都會成立

換句話說三角形各邊長與其對角正弦值成正比

接下來我們不禁會問

sinA分之a

等於sinB分之b

等於sinC分之c的

比值是多少呢

觀察直角三角形ABC

令角A等於90度

此時sinA分之a等於sinB分之b

等於sinC分之c等於a

觀察正三角形ABC

角A等於角B等於角C等於60度

a等於b等於c

sinA分之a等於sinB分之b

等於sinC分之c等於sin60度分之a

等於3分之4乘以2分之根號3a

雖然兩類三角形各邊長

與對角正弦值的比值都不相同

但是這兩個值都是三角形ABC外接圓的直徑

接下來我們來說明為何比值是

三角形ABC外接圓的直徑2R

因為三角形ABC中

至少有一個內角為銳角

設角A為銳角

不管三角形ABC是銳角 鈍角或直角三角形

我們想要找出比值sinA分之a

在外接圓上可以移動A點

到B對圓心的對稱點D

因為只移動A點

由於對同弧的圓心角相等

因此BC與角A的度數移動前後都不會改變

因此sinA分之a移動前後的值都相同

即sinA分之a等於sinD分之a

因為三角形BCD為直角三角形

而且角BCD等於90度

BD為外接圓直徑2R

所以sinD等於BD分之BC

等於2R分之a

故sinA分之a等於sinD分之a

等於外接圓直徑2R

我們整理一下前面討論的內容

設三角形ABC中以a b c表示

角A 角B 角C之對邊長度

首先討論了三角形ABC三邊長

與其對角的正弦值成正比

即sinA分之a等於sinB分之b

等於sinC分之c

然後又得到比值sinA分之a等於外接圓直徑2R

這兩個結果合併如下

就是正弦定理

我們重新將正弦定理敘述如下

設三角形ABC中以a b c表示

角A 角B 角C之對邊長度

三邊長與其對角的正弦值成正比

且比值為外接圓直徑

即sinA分之a等於sinB分之b

等於sinC分之c等於2R

其中R為外接圓半徑

本影片重點如下