回顧國中時所學的畢氏定理

直角三角形斜邊平方等於兩股平方和

描述了直角三角形各邊的關係

此定理是幾何中的寶藏

那麼對於一般的三角形

是否有類似關係式可以描述邊角關係呢

讓我們先利用實例來探討三角形的邊角關係

設三角形ABC中 角A等於30度

AB等於6 AC等於7

請求出BC的長

這個問題可以使用畢氏定理來解決

作AC邊上的高BD

根據銳角三角比的定義

AD等於6cos30度 BD等於6sin30度

也就是CD等於7減6乘以cos30度

在三角形BDC中

因為角BDC等於90度

根據畢氏定理

BC平方等於BD平方加CD平方

上述的式子BC平方等於

6平方加7平方減2乘以6乘以7乘以cos30度

不僅可以求得BC的長度

而且可發現此關係式

對於一般的三角形ABC而言

上述的關係式也會成立

這就是本部影片所要探討的餘弦定理

為何稱為餘弦定理呢

我們可以觀察關係式中會出現

三邊長與內角的餘弦值

因此這樣的關係式稱為餘弦定理

在三角形ABC中若a b c

為角A 角B 角C之對邊長

則a平方等於b平方加c平方減2bc乘以cosA

b平方等於a平方加c平方減2ac乘以cosB

c平方等於a平方加b平方減2ab乘以cosC

這三個式子只是針對不同的內角所呈現的結果

實際上都是一樣的情形

接下來的證明過程

我們只針對角A來證明

其它的內角的情形同理可證

因為角A會有銳角 直角或鈍角三種情形

我們會分別對這三種情形加以證明

首先設C點對AB邊或其延長線的垂足點為D

這裡所介紹的證明方法

與前面例子的作法相似

都是在直角三角形BCD中

用邊與角A的三角比來表示BD與CD

再使用畢氏定理來推導餘弦定理

當角A為銳角時如圖

考慮直角三角形角CDA等於90度

因此AD等於bcosA

故可得BD等於AB減AD等於c減bcosA

當角A為直角時如圖

此時D點與A點重合

而角A等於90度 cosA等於0

故BD等於BA等於c等於c減bcosA

當角A為鈍角時如圖

此時D點在AB外

BD等於AB加AD等於c加bcos180度減A等於c減bcosA

根據上面的討論可以得知

不論角A為銳角 直角 鈍角

均可得BD等於c減bcosA

另一方面前面的影片已經介紹過

不論角A為銳角 直角 鈍角

AB上的高CD等於bsinA均會成立

因為三角形BDC為直角三角形

故a平方等於BC平方等於BD平方加CD平方

故a平方等於b平方加c平方減2bccosA

同理可證

b平方等於a平方加c平方減2accosB

c平方等於a平方加b平方減2abcosC

觀察以角A為基準的餘弦定理

可以發現以下結果

當角A為銳角時

此時cosA大於0

那麼a平方小於b平方加c平方

反之亦成立

當角A為直角時

此時cosA等於0

那麼a平方等於b平方加c平方

這就是畢氏定理

反之亦成立

當角A為鈍角時

此時cosA小於0

那麼a平方大於b平方加c平方

反之亦成立

因此就可以藉由某個內角對邊平方

與夾邊平方和的大小關係

判斷此內角是銳角 直角或鈍角

我們試著用餘弦定理來解決三角形的邊角問題

例題一

讓我們來看看如何解這一題

根據餘弦定理可知

接下來再解一個例題

例題二

根據餘弦定理可知