測量三角形的面積自古就是很重要的問題

前面的影片曾介紹用內角的正弦值

與兩夾邊來計算三角形的面積公式

這部影片想介紹另一個三角形的面積公式

古希臘數學家海龍留下來的一本著作

測量術書中討論了

給定三角形三邊長求面積的方法

後世稱為海龍公式

這就是接下來我們要討論的內容

我們先看一個例子

一個農夫有塊三角形的農耕地

從土地的外圍走一圈

測量三邊長分別是13公尺 14公尺 15公尺

根據邊長可以求得此農耕地的面積嗎

計算這個問題之前

讓我們來複習一下之前所學的面積公式

回到前面所提的農耕地面積問題

它可以轉化成三角形ABC三邊長分別為

AB等於13 BC等於14 CA等於15

求三角形ABC的面積

利用餘弦定理可以得知

因此農夫的田地面積為84平方公尺

回顧上述問題的解法

給定三角形的三邊長

可以利用餘弦定理求出一內角的餘弦值

再求出正弦值

然後利用前面影片介紹的三角形面積公式

即可得到三角形面積

利用前面介紹的方法

已知三角形ABC三邊長分別為

接下來我們可以仿照前面實例來證明海龍公式

設三角形ABC中

a b c分別為角A 角B 角C之對邊長

令半周長為s

即s等於2分之a加b加c

則三角形ABC的面積等於

如何證明呢

根據餘弦定理

而三角形ABC的面積等於

根號內使用平方差公式上式可化簡為

整理根號內的式子可以得以下結果

利用完全平方公式

根號內使用平方差公式上式可化簡為

再用s a b c表示根號內的式子

根號內提出公因數得到以下結果

根據上述的推導過程

可以得知三角形ABC的面積等於

海龍公式本身可以做幾個觀察

首先從單位的角度來看

a b c s為長度單位

是長度平方單位

因此同學寫這個公式時

根號中一定會有4個長度單位

這樣代表面積公式才合理

接著我們可以觀察

例如a等於4 b等於6 c等於8

a等於8 b等於4 c等於6代入面積公式都相同

也就是說只要三邊長固定了

那麼不管三角形如何放置

面積都會相同

已知三角形三邊長a b c

利用海龍公式可以求得面積為

其實海龍在測量術中所討論求面積的方法

跟影片中的方法並不相同

有興趣的同學可以參考以下網站