第二冊曾經學過 將一系列的數依照順序排列出來稱為數列 例如2 4 6 8 10 就是一個總共有5項的數列 數列的符號我們以a 表示 a 是這個數列的第1項 a 是這個數列的第2項 以此類推 而a 就是這個數列的第n項 如果一個數列的項數是有限的 就稱這個數列為有限數列 例如剛剛的2 4 6 8 10 就是一個有限數列 如果這個項數無限多項的話 我們就稱為無窮數列 例如我們熟知的正整數1 2 3 4以此類推 它的項數有無限多項 就是一個無窮數列 那麼如果一個數列有無窮多項 當n越來越大時 無窮數列a 所對應的項a 會如何變化呢 我們可以透過觀察幾個例子 來看看在項數很大的時候 這些無窮數列會長什麼樣 第一個例子我們來看數列n分之1 這個數列 當n等於1 2 3 4 5的時候 可以對應得到的n分之1為 2分之1 3分之1 4分之1 5分之1 觀察發現這個數列的項會越來越小 如果我們把1 2分之1 3分之1 4分之1 5分之1 畫在數線上 可以發現它在數線上的表現 會越來越靠近0 那麼如果當n越來越大的時候 例如當n等於10或100時 所得到的n分之1就會是10分之1 或100分之1 它的值會越來越小 在數線上會越來越靠近0 也就是說 不管從數值上或是數線上觀察下來 當n越來越大時 無窮數列n分之1所對應的項n分之1 會越來越趨近0 再來看一個例子 例如數列-2分之1的n次方 這個數列 當n等於1 2 3 4 5的時候 可以對應得到的-2分之1的n次方為 -2分之1 4分之1 -8分之1 16分之1 -32分之1 觀察發現這個數列有正數也有負數 如果我們把-2分之1 4分之1 -8分之1 16分之1 -32分之1 畫在數線上 可以看到它在數線上的原點 左右來回地跳動 不過雖然是在數線上原點左右來回跳動 我們還是可以觀察到 隨著n越來越大 得到的-2分之1的n次方 越來會越靠近0 也就是說 不管從數值上或是數線上觀察下來 當n越來越大時 無窮數列-2分之1的n次方 所對應的項-2分之1的n次方 會越來越趨近0 以上的例子這些無窮數列 都會趨近於一個數 但不是每個無窮數列 都會趨近於一個數的哦 例如數列2n加1這個數列 當n等於1 2 3 4 5的時候 可以對應得到的2n加1分別為 3 5 7 9 11 觀察發現這個數列其實就是 越來越大的正奇數 如果我們把3 5 7 9 11畫在數線上 可以看到它在數線上會陸續往右移動 而且隨著n愈來愈大 得到的2n加1也越來越大 例如當n等於100或101時 所得到的2n加1就會是201或203 它的值會越來越大 在數線上是越來越往右移動 也就是說 不管從數值上或是數線上觀察下來 當n越來越大時 無窮數列2n加1所對應的項2n加1 並沒有趨近於某一個特定的數 而是越來越大 也就是趨近於無限大 剛剛看的的例子無窮數列2n加1 是越來越大 反過來也是有越來越小的例子 例如數列5減3n 這個數列 當n等於1 2 3 4 5的時候 可以對應得到的5減3n分別為 2 -1 -4 -7 -10 觀察發現這個數列的項會越來越小 如果我們把2 -1 -4 -7 -10畫在數線上 可以看到它在數線上會陸續往左移動 而且隨著n越來越大 得到的5減3n也越來越小 例如當n等於100或101時 所得到的5減3n就會是 -295或-298 它的值會越來越小 在數線上是越來越往左移動 也就是說不管從數值上 或是數線上觀察下來 當n越來越大時 無窮數列5減3n所對應的項5減3n 並沒有趨近於某一個特定的數 而是越來越小 也就是趨近於負無限大 另外還有些數列當n越來越大時 它的項不會越來越大 但是也不會趨近於一個數 例如-1的n次方這個數列 當n等於1 2 3 4 5的時候 可以對應得到的-1的n次方分別為 -1 1 -1 1 -1 觀察發現這個數列的項只有-1或1 如果把它畫在數線上 可以看到它在數線上會只有兩個點 就是-1或1 事實上這個數列的奇數項都是-1 而偶數項都是1 因此即便隨著n越來越大 得到的-1的n次方也只是-1或1 例如當n等於100或101時 這時候所得到的-1的n次方 依然還是1或-1 它的值只有兩種可能 在數線上的表現也只有這兩個點 也就是說 不管從數值上或是數線上觀察下來 當n越來越大時 無窮數列-1的n次方 所對應的項-1的n次方 並沒有趨近於某一個特定的數 也沒有越來越大 而是在-1或1這兩個數之間來回跳動 這個單元我們介紹了當n越來越大時 無窮數列a 所對應的項a 的情況 很有可能是趨近於一個數 例如無窮數列n分之1 與數列-2分之1的n次方 都是趨近於0 也有可能是趨近無限大 例如數列2n加1 也有可能是趨近負無限大 例如數列5減3n 也有可能在某些數之間來回跳動 例如數列-1的n次方 這個單元我們看到了 無窮數列有這麼多種情況 那麼這些情況要怎麼稱呼它呢 下個影片我們將會引入這些情況 搭配的專有名詞 與無窮數列極限的定義 各位同學繼續加油哦